Exemplo de função que admite derivadas parciais mas não é diferenciável: Considere a função
f(x, y)=l x yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Mostre que partial fpartial x(0,0)=0=partial fpartial y(0,0) e f não é diferenciável (0,0).

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x,y)= dfracx,yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede (i) as derivadas parciais em (0,0) e (ii) mostrar que f não é diferenciável em (0,0).
Para (i) usaremos a definição de derivada parcial, e para (ii) o critério de diferenciabilidade, que exige
lim(x,y)to(0,0) f(x,y)-f(0,0)-nabla f(0,0)cdot(x,y)raizx^2+y^2=0
]

Passo 2

Calculamos
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Para y=0 e xneq0 temos f(x,0)=xcdot0x^2+0=0. Logo
partial fpartial x(0,0) =limhto00-0h=0

Passo 3

De modo análogo,
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k
Para x=0 e yneq0 vale f(0,y)=0cdot y0+y^2=0. Assim
partial fpartial y(0,0) =limkto00-0k=0

Passo 4

Se f fosse diferenciável em (0,0) com gradiente nabla f(0,0)=(0,0), deveríamos ter
lim(x,y)to(0,0) f(x,y)-0- (0,0)cdot(x,y)raizx^2+y^2 =lim(x,y)to(0,0) f(x,y)raizx^2+y^2=0

Passo 5

Tomemos o caminho y=x. Então, para xneq0,
f(x,x)=xcdot xx^2+x^2=x^22x^2=12, raizx^2+x^2=raiz2,lvert xrvert
Logo
f(x,x)raizx^2+x^2 =tfrac12raiz2,lvert xrvert =12raiz2,lvert xrvert longrightarrow +infty quando xto0
Esse limite não é zero, portanto f não satisfaz o critério de diferenciabilidade em (0,0).

Resposta

partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0,
e f não é diferenciável em (0,0).

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