Exemplo de função que admite derivadas parciais mas não é diferenciável: Considere a função
Mostre que
partial fpartial x(0,0)=0=partial fpartial y(0,0) e
f não é diferenciável
(0,0) .
Passo 1
O enunciado apresenta a função
e pede (i) as derivadas parciais em
(0,0) e (ii) mostrar que
f não é diferenciável em
(0,0) .
Para (i) usaremos a definição de derivada parcial, e para (ii) o critério de diferenciabilidade, que exige
Para (i) usaremos a definição de derivada parcial, e para (ii) o critério de diferenciabilidade, que exige
]
Passo 2
Calculamos
Para
y=0 e
xneq0 temos
f(x,0)=xcdot0x^2+0=0 . Logo
Passo 3
De modo análogo,
Para
x=0 e
yneq0 vale
f(0,y)=0cdot y0+y^2=0 . Assim
Passo 4
Se
f fosse diferenciável em
(0,0) com gradiente
nabla f(0,0)=(0,0) , deveríamos ter
Passo 5
Tomemos o caminho
y=x . Então, para
xneq0 ,
Logo
Esse limite não é zero, portanto
f não satisfaz o critério de diferenciabilidade em
(0,0) .
Resposta
e