Encontre todas as derivad as parciais de primeir a ordem:
(e) z = ln(x * y^2 + x - y)

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para encontrarmos todas as derivadas parciais de primeira ordem da função . Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais, aplicando regras como a regra da cadeia e a diferenciação de funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar. Temos:
Aqui, é uma função de duas variáveis, e . Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Usamos a regra da cadeia para derivar a função logarítmica:

Passo 4

Agora, calculamos a derivada da expressão dentro do logaritmo em relação a :
Isso porque a derivada de em relação a é , a derivada de é 1, e a derivada de em relação a é 0.

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra da cadeia:

Passo 7

Calculamos a derivada da expressão dentro do logaritmo em relação a :
Aqui, a derivada de em relação a é , a derivada de é 0, e a derivada de é .

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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