Encontre todas as derivad as parciais de primeir a ordem:
(e)
(e)
Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para encontrarmos todas as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais, aplicando regras como a regra da cadeia e a diferenciação de funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar. Temos:
Aqui,
é uma função de duas variáveis,
e
. Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usamos a regra da cadeia para derivar a função logarítmica:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada da expressão dentro do logaritmo em relação a
:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
, a derivada de
é 1, e a derivada de
em relação a
é 0.
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra da cadeia:
Passo 7
Calculamos a derivada da expressão dentro do logaritmo em relação a
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
, a derivada de
é 0, e a derivada de
é
.
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e