Encontre todas as derivad as parciais de primeir a ordem:
(i) f(x, y, z) = ((x - y) / (x + y)) ^ z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para isso, vamos precisar usar regras de derivação, como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de . Para isso, vamos tratar como uma função , onde . Assim, .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para derivadas, a derivada de em relação a será:
Então, precisamos encontrar .

Passo 4

Calculando :
Usando a regra do quociente:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , chamada de . Novamente, usamos e aplicamos a regra da cadeia:

Passo 7

Calculando :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de :

Passo 9

Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , chamada de . Aqui, usamos a regra de derivação para potências com base variável:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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