Encontre todas as derivad as parciais de primeir a ordem:
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para isso, vamos precisar usar regras de derivação, como a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
. Para isso, vamos tratar
como uma função
, onde
. Assim,
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para derivadas, a derivada de
em relação a
será:
Então, precisamos encontrar
.
Passo 4
Calculando
:
Usando a regra do quociente:
Passo 5
Substituindo
de volta na expressão de
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, chamada de
. Novamente, usamos
e aplicamos a regra da cadeia:
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão de
:
Passo 9
Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, chamada de
. Aqui, usamos a regra de derivação para potências com base variável:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são: