Encontre todas as derivad as parciais de primeir a ordem:
(j)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão de derivadas parciais de primeira ordem para a função
. Aqui, a matéria que vamos usar é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de várias variáveis, como a regra do quociente, regra da cadeia e derivadas básicas de funções como raiz quadrada e logaritmo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, trataremos
e
como constantes.
Temos:
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar em relação a
. A regra do quociente diz que se você tem uma função
, sua derivada é
.
Passo 3
Identificando
e
:
Agora, vamos derivar
e
em relação a
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Usando a mesma função:
Aplicamos novamente a regra do quociente:
Onde agora:
Passo 7
Substituindo na regra do quociente:
Simplificando:
Passo 8
Fatorando
:
Simplificando a expressão no numerador:
Então:
Passo 9
Finalmente, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Usamos novamente:
Aplicando a regra do quociente:
Onde:
Passo 10
Substituindo na regra do quociente:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: