Nos Exercs. 1 a 12, determine o argumento dos números complexos dados, escreva esses números na forma polar e represente-os geometricamente.
z=4-i.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o argumento de um número complexo, escrevê-lo na forma polar e desenhá-lo no plano de Argand. Vamos usar a definição de módulo e argumento de um número complexo e a interpretação geométrica no plano.

Passo 2

Identificamos a parte real de 4 e a imaginária de -1. O módulo é dado por r=raizx^2+y^2=raiz4^2+(-1)^2=raiz17. Como o ponto (4,−1) está no quarto quadrante, o argumento principal é negativo e vale theta=arctanl(tfracyxr)=arctanl(-tfrac14r)=-arctanl(tfrac14r).

Passo 3

Para escrever na forma polar usamos z=rl(costheta+isinthetar). Assim
[ z=\sqrt{17}\bigl(\cos\bigl(-\arctan(\tfrac{1}{4})\bigr)+i\sin\bigl(-\arctan(\tfrac{1}{4})\bigr)\bigr) ]

Passo 4

Geometricamente, representamos o ponto (4,-1) no plano de Argand: traçamos um vetor do 0 até (4,−1), que faz ângulo -arctan(tfrac14) com o eixo real e tem comprimento raiz17.

Resposta

Argumento principal: Arg(z)=-arctanl(tfrac14r)
Forma polar:
[ z=\sqrt{17}\bigl(\cos(-\arctan(\tfrac{1}{4})) + i\sin(-\arctan(\tfrac{1}{4}))\bigr) ]
Representação geométrica: vetor de comprimento raiz17 partindo da origem até o ponto (4,−1), com ângulo -arctan(tfrac14) em relação ao eixo real positivo.

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