Nos Exercs. 1 a 12, determine o argumento dos números complexos dados, escreva esses números na forma polar e represente-os geometricamente.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o argumento de um número complexo, escrevê-lo na forma polar e desenhá-lo no plano de Argand. Vamos usar a definição de módulo e argumento de um número complexo e a interpretação geométrica no plano.
Passo 2
Identificamos a parte real de 4 e a imaginária de -1. O módulo é dado por
. Como o ponto (4,−1) está no quarto quadrante, o argumento principal é negativo e vale
.
Passo 3
Para escrever na forma polar usamos
. Assim
[ z=\sqrt{17}\bigl(\cos\bigl(-\arctan(\tfrac{1}{4})\bigr)+i\sin\bigl(-\arctan(\tfrac{1}{4})\bigr)\bigr) ]
[ z=\sqrt{17}\bigl(\cos\bigl(-\arctan(\tfrac{1}{4})\bigr)+i\sin\bigl(-\arctan(\tfrac{1}{4})\bigr)\bigr) ]
Passo 4
Geometricamente, representamos o ponto
no plano de Argand: traçamos um vetor do 0 até (4,−1), que faz ângulo
com o eixo real e tem comprimento
.
Resposta
Argumento principal:
Forma polar:
[ z=\sqrt{17}\bigl(\cos(-\arctan(\tfrac{1}{4})) + i\sin(-\arctan(\tfrac{1}{4}))\bigr) ]
Representação geométrica: vetor de comprimento
partindo da origem até o ponto (4,−1), com ângulo
em relação ao eixo real positivo.