Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem:
f(x, y, z, w)=e^{x y w-1}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z,w)=e^{xyw-1}.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia, pois f é uma composição de exponencial com a função interna g(x,y,z,w)=xyw-1.

Passo 2

Para obter \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{xyw-1}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xyw-1) = e^{xyw-1}\cdot(yw) = yw\,e^{xyw-1}.

Passo 3

Para obter \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} fazemos o mesmo raciocínio:
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{xyw-1}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xyw-1) = e^{xyw-1}\cdot(xw) = xw\,e^{xyw-1}.

Passo 4

Como g(x,y,z,w)=xyw-1 não depende de z, temos diretamente
\frac{\partial f}{\partial z} = e^{xyw-1}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(xyw-1) = e^{xyw-1}\cdot 0 = 0.

Passo 5

Finalmente, para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial w}:
\frac{\partial f}{\partial w} = e^{xyw-1}\cdot\frac{\partial}{\partial w}(xyw-1) = e^{xyw-1}\cdot(xy) = xy\,e^{xyw-1}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=yw\,e^{xyw-1}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=xw\,e^{xyw-1}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=0
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial w}=xy\,e^{xyw-1}

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