( 3,0 ) A temperatura em um ponto ( x, y, z ) é dada por
\mathrm{T}(x, y, z)=200 e^{-x^{2}-y^{2}-3 z^{2}},
onde T é medido em { }^{\circ} \mathrm{C} e x, y, z em metros.
(a) Qual a taxa de variação da temperatura no ponto \mathfrak{p}=(1,-1,2) em direção ao ponto (2,-1,1) ? Considere o vetor normalizado.
(b) Qual a direção de maior crescimento da temperatura no ponto p ?
(c) O que podemos afirmar sobre dois pontos p_{1}, p_{2} \in T^{-1}(\{a\}), para a>0 ?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura
T(x,y,z)=200\,e^{-x^2-y^2-3z^2}
e pede:
(a) a taxa de variação direcional em p=(1,-1,2) rumo a (2,-1,1) usando vetor unitário;
(b) a direção de maior crescimento em p;
(c) o que se afirma sobre dois pontos p_1,p_2 na mesma superfície de nível T^{-1}(\{a\}).
Vamos usar gradiente, derivada direcional e propriedades de superfícies de nível.

Passo 2

Calcular o gradiente de T. Para isso derivamos em cada variável:
\frac{\partial T}{\partial x} =200\,e^{-x^2-y^2-3z^2}\cdot(-2x) =-400x\,e^{-x^2-y^2-3z^2},
\frac{\partial T}{\partial y} =-400y\,e^{-x^2-y^2-3z^2},
\frac{\partial T}{\partial z} =200\,e^{-x^2-y^2-3z^2}\cdot(-6z) =-1200z\,e^{-x^2-y^2-3z^2}.
Logo
\nabla T(x,y,z) =\bigl(-400x,\,-400y,\,-1200z\bigr)\,e^{-x^2-y^2-3z^2}.

Passo 3

Avaliar \nabla T em p=(1,-1,2). Note que o expoente fica
-1^2-(-1)^2-3\cdot2^2=-1-1-12=-14. Assim
\nabla T(1,-1,2) =\bigl(-400\cdot1,\,-400\cdot(-1),\,-1200\cdot2\bigr)\,e^{-14} =\bigl(-400,\;400,\;-2400\bigr)\,e^{-14}.

Passo 4

Determinar o vetor unitário na direção de p até (2,-1,1). O vetor diferença é
\bigl(2-1,\,-1-(-1),\,1-2\bigr)=(1,0,-1)
e seu comprimento é
\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt2.
Logo o vetor unitário é
\mathbf u=\bigl(\tfrac1{\sqrt2},\,0,\,-\tfrac1{\sqrt2}\bigr).
A derivada direcional é
D_{\mathbf u}T(p) =\nabla T(1,-1,2)\cdot \mathbf u =e^{-14}\bigl(-400\cdot\tfrac1{\sqrt2}+400\cdot0+(-2400)\cdot(-\tfrac1{\sqrt2})\bigr) =\frac{-400+2400}{\sqrt2}\,e^{-14} =\frac{2000}{\sqrt2}\,e^{-14} =1000\sqrt2\,e^{-14}.

Passo 5

A direção de maior crescimento de T em p é a do próprio gradiente \nabla T(1,-1,2). Como unidade, basta
\frac{\nabla T(1,-1,2)}{\bigl\|\nabla T(1,-1,2)\bigr\|}.

Passo 6

Se p_1,p_2\in T^{-1}(\{a\}) com a>0, então T(p_1)=T(p_2). O vetor p_2-p_1 é tangente à superfície de nível T=a, e por isso
\nabla T(p_i)\cdot(p_2-p_1)=0,
ou seja, o gradiente em qualquer ponto da superfície é ortogonal a qualquer vetor que liga dois pontos dessa mesma superfície de nível.

Resposta

(a) D_{\mathbf u}T(1,-1,2)=1000\sqrt2\,e^{-14}.
(b) A direção de maior crescimento é a de \nabla T(1,-1,2), isto é,
\nabla T(1,-1,2)=(-400,400,-2400)\,e^{-14}.
(c) Dois pontos na mesma superfície de nível T=a estão ligados por vetor ortogonal ao gradiente em cada um desses pontos.

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