(3.0) Verifique que todos os planos tangentes ao cone y^{2}=x^{2}+z^{2} passam pela origem.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) do cone
y^2 = x^2 + z^2,
o plano tangente em P_0 contém a origem. O conteúdo que vamos usar é: se uma superfície é dada por F(x,y,z)=0, então o plano tangente em P_0 tem vetor normal \nabla F(P_0) e equação
\nabla F(P_0)\cdot\bigl((x,y,z)-P_0\bigr)=0.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z) = x^2 + z^2 - y^2,
de modo que o cone é a superfície F(x,y,z)=0.

Passo 3

Calculamos o gradiente de F:
\nabla F(x,y,z) = \bigl(2x,\,-2y,\,2z\bigr).
Em P_0=(x_0,y_0,z_0), temos
\nabla F(P_0) = \bigl(2x_0,\,-2y_0,\,2z_0\bigr).

Passo 4

A equação do plano tangente em P_0 é
2x_0\,(x - x_0)\;-\;2y_0\,(y - y_0)\;+\;2z_0\,(z - z_0)\;=\;0.

Passo 5

Expandindo e usando x_0^2 + z_0^2 = y_0^2, o termo independente cancela:
2x_0\,x -2y_0\,y +2z_0\,z \;=\;2x_0\,x_0 -2y_0\,y_0 +2z_0\,z_0 = -2(x_0^2+z_0^2)+2y_0^2 = 0.
Logo a equação simplificada é
2x_0\,x \;-\;2y_0\,y\;+\;2z_0\,z = 0.

Passo 6

Para verificar se a origem (0,0,0) pertence a esse plano, substituímos x=y=z=0 na equação acima e obtemos
2x_0\cdot0 -2y_0\cdot0 +2z_0\cdot0 = 0,
ou seja, 0=0. Portanto a origem satisfaz a equação do plano tangente em qualquer P_0.

Resposta

Todos os planos tangentes ao cone y^2 = x^2 + z^2 passam pela origem.

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