(3.0) Verifique que todos os planos tangentes ao cone
passam pela origem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo ponto
do cone
o plano tangente em
contém a origem. O conteúdo que vamos usar é: se uma superfície é dada por
, então o plano tangente em
tem vetor normal
e equação
Passo 2
Definimos
de modo que o cone é a superfície
.
Passo 3
Calculamos o gradiente de
:
Em
, temos
Passo 4
A equação do plano tangente em
é
Passo 5
Expandindo e usando
, o termo independente cancela:
Logo a equação simplificada é
Passo 6
Para verificar se a origem
pertence a esse plano, substituímos
na equação acima e obtemos
ou seja,
. Portanto a origem satisfaz a equação do plano tangente em qualquer
.
Resposta
Todos os planos tangentes ao cone
passam pela origem.