Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de
Isso envolve primeiro achar as derivadas parciais de primeira ordem
e
, usando a regra do produto e a regra da cadeia, e depois derivar novamente cada uma para obter
,
,
e
.
Passo 2
Calcular
. Escrevendo
, temos
Pela regra do produto,
Logo
Passo 3
Calcular
. Aqui só a parte
depende de
:
Passo 4
Calcular
derivando
em relação a
. Como
fazemos
Somando,
Passo 5
Calcular
derivando
em relação a
. Partindo de
temos
Logo
Passo 6
Calcular
derivando
em relação a
. Como
Isto mostra que
conforme esperado pela igualdade das derivadas mistas.
Passo 7
Calcular
derivando
em relação a
. De
vem