Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo.
w=x sin (x^2 y)

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de
w = x sinl(x^2yr)
Isso envolve primeiro achar as derivadas parciais de primeira ordem wx e wy, usando a regra do produto e a regra da cadeia, e depois derivar novamente cada uma para obter wxx, wxy, wyx e wyy.

Passo 2

Calcular wx. Escrevendo u = x^2y, temos
w = xsin(u)
Pela regra do produto,
wx = 1cdotsin(u) + xcdotcos(u),partial upartial x = sinl(x^2yr) + xcosl(x^2yr)cdot(2xy)
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wx = sinl(x^2yr) + 2x^2ycosl(x^2yr)

Passo 3

Calcular wy. Aqui só a parte sin(u) depende de y:
wy = xcdotcos(u),partial upartial y = xcosl(x^2yr)cdot x^2 = x^3cosl(x^2yr)

Passo 4

Calcular wxx derivando wx em relação a x. Como
wx = sin(u) + 2x^2ycos(u),
fazemos
partialpartial xsin(u) = cos(u)cdot(2xy),
partialpartial xl(2x^2ycos(u)r) = 4xycos(u);-;4x^3y^2sin(u)
Somando,
wxx = 2xycosl(x^2yr) + 4xycosl(x^2yr) - 4x^3y^2sinl(x^2yr) = 6xycosl(x^2yr) -4x^3y^2sinl(x^2yr)

Passo 5

Calcular wxy derivando wx em relação a y. Partindo de
wx = sin(u) + 2x^2ycos(u),
temos
partialpartial ysin(u) = cos(u)cdot x^2,
partialpartial yl(2x^2ycos(u)r) = 2x^2cos(u) ;-;2x^4ysin(u)
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wxy = x^2cosl(x^2yr) +2x^2cosl(x^2yr) -2x^4ysinl(x^2yr) = 3x^2cosl(x^2yr) -2x^4ysinl(x^2yr)

Passo 6

Calcular wyx derivando wy em relação a x. Como
wy = x^3cos(u),
partialpartial xx^3cos(u) = 3x^2cos(u) - x^3sin(u)cdot(2xy) = 3x^2cos(u) -2x^4ysin(u)
Isto mostra que
wyx = 3x^2cosl(x^2yr) -2x^4ysinl(x^2yr) = wxy,
conforme esperado pela igualdade das derivadas mistas.

Passo 7

Calcular wyy derivando wy em relação a y. De
wy = x^3cos(u)
vem
wyy = x^3l(-sin(u)r),partial upartial y = -x^3sinl(x^2yr)cdot x^2 = -x^5sinl(x^2yr)

Resposta

wxx = 6xycosl(x^2yr) -4x^3y^2sinl(x^2yr)
wxy = wyx = 3x^2cosl(x^2yr) -2x^4ysinl(x^2yr)
wyy = -,x^5sinl(x^2yr)

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