Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo.
w=x^2 tan (x y)

Passo 1

Temos a função w(x,y)=x^2tan(xy). O conteúdo é derivadas parciais de segunda ordem. Para resolver vamos primeiro achar as parciais de primeira ordem usando regra do produto e regra da cadeia, depois derivar novamente para obter as parciais de segunda ordem.

Passo 2

Derivando em relação a x, usando produto e cadeia, temos
wx=partialpartial xl(x^2tan(xy)r)=2xtan(xy)+x^2sec^2(xy)cdot y.
Derivando em relação a y, como x^2 é constante, usamos só cadeia:
wy=partialpartial yl(x^2tan(xy)r)=x^2sec^2(xy)cdot x=x^3sec^2(xy).

Passo 3

Para wxx, derivamos wx=2xtan(xy)+x^2ysec^2(xy) em relação a x. Aplicando produto e cadeia, obtemos
wxx=2tan(xy)+2xl(sec^2(xy)cdot yr)+l(2x yr)sec^2(xy)+x^2yl(2sec^2(xy)tan(xy)cdot yr).
Agrupando termos:
wxx=2tan(xy)+4xysec^2(xy)+2x^2y^2sec^2(xy)tan(xy).

Passo 4

Para a derivada mista wxy, derivamos wx em relação a y:
wxy=partialpartial yl(2xtan(xy)+x^2ysec^2(xy)r)=2xl(sec^2(xy)cdot xr)+x^2sec^2(xy)+x^2yl(2sec^2(xy)tan(xy)cdot xr).
Simplificando:
wxy=3x^2sec^2(xy)+2x^3ysec^2(xy)tan(xy).
Como a função é suave, wyx=wxy.

Passo 5

Por fim, para wyy, derivamos wy=x^3sec^2(xy) em relação a y. Usando regra da cadeia:
wyy=x^3l(2sec^2(xy)tan(xy)cdot xr)=2x^4sec^2(xy)tan(xy).

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
w_{xx}= 2tan(xy)+4xysec^2(xy)+2x^2y^2sec^2(xy)tan(xy);
w_{xy}=w_{yx}= 3x^2sec^2(xy)+2x^3ysec^2(xy)tan(xy);
w_{yy}= 2x^4sec^2(xy)tan(xy).

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