Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo.
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo é derivadas parciais de segunda ordem. Para resolver vamos primeiro achar as parciais de primeira ordem usando regra do produto e regra da cadeia, depois derivar novamente para obter as parciais de segunda ordem.
Passo 2
Derivando em relação a
, usando produto e cadeia, temos
.
Derivando em relação a , como
é constante, usamos só cadeia:
.
Derivando em relação a
Passo 3
Para
, derivamos
em relação a
. Aplicando produto e cadeia, obtemos
.
Agrupando termos:
.
Agrupando termos:
Passo 4
Para a derivada mista
, derivamos
em relação a
:
.
Simplificando:
.
Como a função é suave, .
Simplificando:
Como a função é suave,
Passo 5
Por fim, para
, derivamos
em relação a
. Usando regra da cadeia:
.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
w_{xx}= ;
w_{xy}=w_{yx}= ;
w_{yy}= .
w_{xx}=
w_{xy}=w_{yx}=
w_{yy}=