Utilize a definição de limite de derivada parcial para calcular as derivadas parciais da função no ponto especificado:
f(x, y)=cc sin (x^3+y^4)x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
partial fpartial x e partial fpartial y em(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de uma função f(x, y) no ponto (0,0) usando a definição de limite de derivada parcial. Isso envolve entender como pequenas variações em x e y afetam o valor da função nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como definir a derivada parcial em relação a x no ponto (0,0). A definição é:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
Isso significa que vamos ver como a função muda quando aumentamos x um pouquinho (por h ) mantendo y = 0 .

Passo 3

Vamos calcular f(h, 0) . Pela definição da função:
f(h, 0) = sin(h^3 + 0^4)h^2 + 0^2 = sin(h^3)h^2
E sabemos que f(0,0) = 0 .

Passo 4

Substituindo na definição da derivada parcial:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 sin(h^3)h^2 - 0h = limh to 0 sin(h^3)h^3

Passo 5

Agora, vamos usar uma propriedade conhecida dos limites:
limu to 0 sin(u)u = 1
Aqui, u = h^3 , então quando h to 0 , u to 0 também. Portanto:
limh to 0 sin(h^3)h^3 = 1

Passo 6

Assim, concluímos que:
partial fpartial x(0,0) = 1

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y no ponto (0,0). A definição é semelhante:
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k

Passo 8

Calculando f(0, k) :
f(0, k) = sin(0^3 + k^4)0^2 + k^2 = sin(k^4)k^2
E f(0,0) = 0 .

Passo 9

Substituindo na definição da derivada parcial:
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 sin(k^4)k^2 - 0k = limk to 0 sin(k^4)k^3

Passo 10

Usando novamente a propriedade do limite:
limu to 0 sin(u)u = 1
Aqui, u = k^4 , então sin(k^4) approx k^4 quando k é pequeno. Portanto:
limk to 0 sin(k^4)k^3 = limk to 0 k^4k^3 = limk to 0 k = 0

Resposta

As derivadas parciais da função f(x, y) no ponto (0,0) são:
partial fpartial x(0,0) = 1 e partial fpartial y(0,0) = 0

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