Resolva a equaçāo diferencial
x^2 y^prime prime+x^2 y^prime-2 y=0
pelo método de Frobenius. Mostre que uma das séries é finita. Ache uma fórmula para a segunda solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial
x^2 y'' + x^2 y' - 2 y = 0
usando o método de Frobenius. Esse método é útil para encontrar soluções de equações diferenciais próximas de um ponto singular, geralmente x = 0 . Para resolver isso, vamos precisar entender séries de potências e como aplicá-las para encontrar soluções da equação.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução y(x) pode ser expressa como uma série de potências de x , da forma:
y(x) = x^r sumn=0^infty an x^n
Aqui, r é um número que vamos determinar, e an são os coeficientes da série.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de y(x) :
y' = sumn=0^infty (r + n) an x^r + n - 1
y'' = sumn=0^infty (r + n)(r + n - 1) an x^r + n - 2
Essas expressões serão usadas na equação diferencial original.

Passo 4

Substituímos y , y' e y'' na equação diferencial:
x^2 ( sumn=0^infty (r + n)(r + n - 1) an x^r + n - 2 ) + x^2 ( sumn=0^infty (r + n) an x^r + n - 1 ) - 2 ( sumn=0^infty an x^r + n ) = 0
Simplificando cada termo:
sumn=0^infty (r + n)(r + n - 1) an x^r + n + sumn=0^infty (r + n) an x^r + n + 1 - 2 sumn=0^infty an x^r + n = 0

Passo 5

Para combinar as séries, ajustamos os índices para que todas tenham x^r + n :
sumn=0^infty [ (r + n)(r + n - 1) an - 2 an ] x^r + n + sumn=1^infty (r + n - 1) an-1 x^r + n = 0
Agora, podemos juntar as somas:
sumn=0^infty [ (r + n)(r + n - 1) an - 2 an + (r + n - 1) an-1 ] x^r + n = 0

Passo 6

Para que a equação seja válida para todo x , os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero. Então, temos a equação de recorrência:
(r + n)(r + n - 1) an - 2 an + (r + n - 1) an-1 = 0
Simplificando:
(r + n)(r + n - 1 - 2r + n) an + (r + n - 1) an-1 = 0

Passo 7

Primeiro, determinamos o polinômio indicial encontrando os valores de r que satisfazem a equação para n = 0 :
(r)(r - 1) a0 - 2 a0 = 0
Fatorando a0 (que não é zero):
r(r - 1) - 2 = 0 Rightarrow r^2 - r - 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 Rightarrow r1 = 2, r2 = -1

Passo 8

Agora, temos duas soluções possíveis para r : r1 = 2 e r2 = -1 . Vamos começar com r = 2 .
Substituindo r = 2 na equação de recorrência:
(2 + n)(2 + n - 1) an - 2 an + (2 + n - 1) an-1 = 0
Simplificando:
(n + 2)(n + 1) an - 2 an + (n + 1) an-1 = 0
(n + 2)(n + 1 - 2n + 2) an + (n + 1) an-1 = 0

Passo 9

Vamos resolver a recorrência para r = 2 :
an = -(n + 1)(n + 2)(n + 1) - 2 an-1
Simplificando o denominador:
(n + 2)(n + 1) - 2 = n^2 + 3n + 2 - 2 = n^2 + 3n
Portanto:
an = -n + 1n(n + 3) an-1

Passo 10

Vamos calcular os primeiros termos da série para ver se a série termina (é finita):
Para n = 0 :
a0 (escolhemos arbitrariamente, por exemplo, a0 = 1)
Para n = 1 :
a1 = -1 + 10(0 + 3) a0
Aqui, vemos que o denominador é zero, o que indica que a série termina aqui. Portanto, a solução associada a r = 2 é uma série finita:
y1(x) = a0 x^2

Passo 11

Agora, vamos encontrar a segunda solução correspondente a r = -1 .
Substituindo r = -1 na equação de recorrência:
(-1 + n)(-1 + n - 1) an - 2 an + (-1 + n - 1) an-1 = 0
Simplificando:
(n - 1)(n - 2) an - 2 an + (n - 2) an-1 = 0
(n - 1)(n - 2 - 2n - 1) an + (n - 2) an-1 = 0

Passo 12

Resolvendo a recorrência para r = -1 :
an = -(n - 2)(n - 1)(n - 2) - 2 an-1
Simplificando o denominador:
(n - 1)(n - 2) - 2 = n^2 - 3n + 2 - 2 = n^2 - 3n
Portanto:
an = -n - 2n(n - 3) an-1

Passo 13

Para encontrar uma fórmula fechada para a segunda solução, observamos que a segunda solução pode ser encontrada usando o método de redução de ordem, já que uma solução y1(x) = x^2 é conhecida.
A segunda solução y2(x) pode ser escrita como:
y2(x) = y1(x) integral e^-integral P(x) dxy1(x)^2 dx
Onde P(x) é o coeficiente de y' na equação original, que aqui é P(x) = x^2x^2 = 1 .
Calculando:
integral P(x) dx = integral 1 dx = x
e^- integral P(x) dx = e^-x
Então:
y2(x) = x^2 integral e^-xx^4 dx = x^2 integral e^-xx^4 dx
Essa integral pode ser expressa em termos de funções especiais, mas a expressão geral para a segunda solução é:
y2(x) = x^2 ( ln x + sumn=0^infty an x^na0 )

Resposta

A equação diferencial possui duas soluções usando o método de Frobenius:
y1(x) = x^2
e
y2(x) = x^2 ln x + uma série de potências adicional éê
Uma das séries é finita ( y1(x) ), e a segunda solução y2(x) pode ser expressa com uma fórmula envolvendo x^2 ln x mais uma série de potências.

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