Resolva a equaçāo diferencial
pelo método de Frobenius. Mostre que uma das séries é finita. Ache uma fórmula para a segunda solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial
usando o método de Frobenius. Esse método é útil para encontrar soluções de equações diferenciais próximas de um ponto singular, geralmente
. Para resolver isso, vamos precisar entender séries de potências e como aplicá-las para encontrar soluções da equação.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser expressa como uma série de potências de
, da forma:
Aqui,
é um número que vamos determinar, e
são os coeficientes da série.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Essas expressões serão usadas na equação diferencial original.
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Para combinar as séries, ajustamos os índices para que todas tenham
:
Agora, podemos juntar as somas:
Passo 6
Para que a equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Então, temos a equação de recorrência:
Simplificando:
Passo 7
Primeiro, determinamos o polinômio indicial encontrando os valores de
que satisfazem a equação para
:
Fatorando
(que não é zero):
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 8
Agora, temos duas soluções possíveis para
:
e
. Vamos começar com
.
Substituindo
na equação de recorrência:
Simplificando:
Passo 9
Vamos resolver a recorrência para
:
Simplificando o denominador:
Portanto:
Passo 10
Vamos calcular os primeiros termos da série para ver se a série termina (é finita):
Para
:
Para
:
Aqui, vemos que o denominador é zero, o que indica que a série termina aqui. Portanto, a solução associada a
é uma série finita:
Passo 11
Agora, vamos encontrar a segunda solução correspondente a
.
Substituindo
na equação de recorrência:
Simplificando:
Passo 12
Resolvendo a recorrência para
:
Simplificando o denominador:
Portanto:
Passo 13
Para encontrar uma fórmula fechada para a segunda solução, observamos que a segunda solução pode ser encontrada usando o método de redução de ordem, já que uma solução
é conhecida.
A segunda solução
pode ser escrita como:
Onde
é o coeficiente de
na equação original, que aqui é
.
Calculando:
Então:
Essa integral pode ser expressa em termos de funções especiais, mas a expressão geral para a segunda solução é:
Resposta
A equação diferencial possui duas soluções usando o método de Frobenius:
e
Uma das séries é finita (
), e a segunda solução
pode ser expressa com uma fórmula envolvendo
mais uma série de potências.