Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
O conteúdo é diferenciação de funções de duas variáveis, usando a regra do quociente para obter as primeiras derivadas e depois aplicando a regra da cadeia para as segundas.
Passo 2
Para calcular
, chamo
e
. Pela regra do quociente,
Passo 3
Para calcular
, uso de novo
e
. Assim,
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
. Pela regra da cadeia,
Passo 5
Para
, derivamos
em relação a
. Primeiro obtemos
Colocando em denominador comum
, resulta
Pela continuidade adequada da função, vale também
.
Passo 6
Finalmente, derivamos
em relação a
. Pela cadeia,