Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
h(r, s)=r sr-s

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
h(r,s)=r,sr-s
O conteúdo é diferenciação de funções de duas variáveis, usando a regra do quociente para obter as primeiras derivadas e depois aplicando a regra da cadeia para as segundas.

Passo 2

Para calcular partial hpartial r, chamo u=r,s e v=r-s. Pela regra do quociente,
partial hpartial r = partial upartial r,v - u,partial vpartial rv^2 = s,(r-s) - r,scdot1(r-s)^2 = -s^2(r-s)^2

Passo 3

Para calcular partial hpartial s, uso de novo u=r,s e v=r-s. Assim,
partial hpartial s = partial upartial s,v - u,partial vpartial sv^2 = r,(r-s) - r,scdot(-1)(r-s)^2 = r^2(r-s)^2

Passo 4

Agora derivamos hr = -s^2,(r-s)^-2 em relação a r. Pela regra da cadeia,
hrr = -s^2 cdot (-2),(r-s)^-3cdot 1 = 2,s^2(r-s)^3

Passo 5

Para hrs, derivamos hr=-s^2,(r-s)^-2 em relação a s. Primeiro obtemos
-2s,(r-s)^-2;-;2s^2,(r-s)^-3
Colocando em denominador comum (r-s)^3, resulta
hrs=-2,r,s(r-s)^3
Pela continuidade adequada da função, vale também hsr=hrs.

Passo 6

Finalmente, derivamos hs=r^2,(r-s)^-2 em relação a s. Pela cadeia,
hss = r^2 cdot (-2),(r-s)^-3cdot(-1) = 2,r^2(r-s)^3

Resposta

hrr(r,s)=2,s^2(r-s)^3,
hrs(r,s)=hsr(r,s)=-2,r,s(r-s)^3,
hss(r,s)=2,r^2(r-s)^3

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