Resolva as seguintes inequações:
x-32 x-1 >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação x-32x-1 >= 0. Estamos lidando com uma inequação racional, que envolve uma fração com polinômios no numerador e denominador. Para resolver isso, vamos precisar descobrir onde essa fração é positiva (maior ou igual a zero) e onde ela muda de sinal. Isso envolve encontrar os pontos críticos onde o numerador ou o denominador é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os valores de x que fazem o numerador e o denominador serem zero.
  • Numerador: x - 3 = 0 Rightarrow x = 3
  • Denominador: 2x - 1 = 0 Rightarrow x = 12
Esses valores são importantes porque eles podem mudar o sinal da fração ou tornar a fração indefinida.

Passo 3

Agora, vamos dividir a linha dos números reais em intervalos com base nesses valores críticos: x = 12 e x = 3. Os intervalos são:
  1. x < 12
  2. 12 < x < 3
  3. x > 3
Vamos analisar o sinal da fração x-32x-1 em cada intervalo.

Passo 4

Intervalo 1: x < 12
  • Numerador: x - 3 é negativo (porque x é menor que 3).
  • Denominador: 2x - 1 é negativo (porque x é menor que 12).
  • Fração: Negativo dividido por Negativo é Positivo.
Intervalo 2: 12 < x < 3
  • Numerador: x - 3 é negativo (porque x é menor que 3).
  • Denominador: 2x - 1 é positivo (porque x é maior que 12).
  • Fração: Negativo dividido por Positivo é Negativo.
Intervalo 3: x > 3
  • Numerador: x - 3 é positivo (porque x é maior que 3).
  • Denominador: 2x - 1 é positivo (porque x é maior que 12).
  • Fração: Positivo dividido por Positivo é Positivo.

Passo 5

Agora, vamos considerar os pontos críticos:
  • Em x = 12, o denominador é zero, então a fração é indefinida. Não podemos incluir esse valor na solução.
  • Em x = 3, o numerador é zero, então a fração é igual a zero. Como a inequação é >= 0, podemos incluir esse valor.

Passo 6

Juntando todas as informações:
  • A fração é positiva nos intervalos x < 12 e x > 3.
  • A fração é zero em x = 3.
  • A fração é negativa no intervalo 12 < x < 3.

Resposta

A solução da inequação x-32x-1 >= 0 é:
x in (-infty, 12) cup [3, +infty)

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