Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-46.
s(x, y) = arctan(y / x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Aqui, usamos conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar lembrar como derivar funções que são compostas e usar a regra da cadeia para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e .
Para :
A função depende de através de . Usamos a regra da cadeia:
Para :
Similarmente, derivamos em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, :
Vamos derivar em relação a :
Segundo, :
Derivamos em relação a :
Terceiro, :
Derivamos em relação a :

Passo 4

Para completar, :
De , derivamos em relação a :
Isso confirma que , o que é esperado pela teoria das derivadas parciais.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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