Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-46.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Aqui, usamos conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar lembrar como derivar funções que são compostas e usar a regra da cadeia para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
.
Para
:
A função depende de
através de
. Usamos a regra da cadeia:
A função
Para
:
Similarmente, derivamos em relação a :
Similarmente, derivamos em relação a
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro,
:
Vamos derivar em relação a
:
Vamos derivar
Segundo,
:
Derivamos em relação a
:
Derivamos
Terceiro,
:
Derivamos em relação a
:
Derivamos
Passo 4
Para completar,
:
De , derivamos em relação a
:
De
Isso confirma que
, o que é esperado pela teoria das derivadas parciais.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: