Três variáveis Deixe w=f(x, y, z) ser uma função de três variáveis independentes e escreva a definição formal da derivada parcial partial f / partial z em (x0, y0, z0). Use essa definição para encontrar partial f / partial z em (1,2,3) para f(x, y, z)=x^2 y z^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis, w = f(x, y, z), e queremos encontrar a derivada parcial de f em relação a z, ou seja, partial f / partial z. Primeiro, vamos escrever a definição formal dessa derivada no ponto específico (1, 2, 3) para a função f(x, y, z) = x^2 y z^2. Vamos precisar usar conceitos de limites e derivadas parciais.

Passo 2

A definição formal da derivada parcial de f em relação a z no ponto (x0, y0, z0) é dada por:
partial fpartial z(x0, y0, z0) = limh to 0 f(x0, y0, z0 + h) - f(x0, y0, z0)h
Isso significa que estamos vendo como a função f muda quando fazemos uma pequena variação em z, mantendo x e y fixos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para a função específica f(x, y, z) = x^2 y z^2 no ponto (1, 2, 3). Substituindo os valores na definição, temos:
partial fpartial z(1, 2, 3) = limh to 0 f(1, 2, 3 + h) - f(1, 2, 3)h
Vamos calcular cada parte dessa expressão.

Passo 4

Primeiro, calculamos f(1, 2, 3 + h):
f(1, 2, 3 + h) = (1)^2 cdot 2 cdot (3 + h)^2 = 2(9 + 6h + h^2) = 18 + 12h + 2h^2
Agora, calculamos f(1, 2, 3):
f(1, 2, 3) = (1)^2 cdot 2 cdot 3^2 = 2 cdot 9 = 18
Substituindo na definição da derivada parcial:
partial fpartial z(1, 2, 3) = limh to 0 (18 + 12h + 2h^2) - 18h = limh to 0 12h + 2h^2h
Simplificando a fração:
12h + 2h^2h = 12 + 2h
Agora, tiramos o limite quando h tende a 0:
limh to 0 (12 + 2h) = 12

Resposta

Portanto, a derivada parcial partial f / partial z em (1, 2, 3) é igual a 12.

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