Três variáveis Deixe
ser uma função de três variáveis independentes e escreva a definição formal da derivada parcial
em
. Use essa definição para encontrar
em
para
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis,
, e queremos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Primeiro, vamos escrever a definição formal dessa derivada no ponto específico
para a função
. Vamos precisar usar conceitos de limites e derivadas parciais.
Passo 2
A definição formal da derivada parcial de
em relação a
no ponto
é dada por:
Isso significa que estamos vendo como a função
muda quando fazemos uma pequena variação em
, mantendo
e
fixos.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para a função específica
no ponto
. Substituindo os valores na definição, temos:
Vamos calcular cada parte dessa expressão.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Substituindo na definição da derivada parcial:
Simplificando a fração:
Agora, tiramos o limite quando
tende a 0:
Resposta
Portanto, a derivada parcial
em
é igual a 12.