Para as funções
e
apresentadas a seguir, determine
e
e os seus respectivos domínios:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente compor as funções
e
de diferentes maneiras e encontrar os domínios de cada uma. Aqui, estamos trabalhando com composição de funções, que basicamente significa substituir uma função dentro da outra. Para isso, vamos precisar lembrar como fazer substituições algébricas e verificar onde as funções estão bem definidas.
Passo 2
Vamos começar calculando
. Isso significa que vamos primeiro aplicar a função
e depois usar o resultado como entrada para a função
.
A função
é dada por:
Agora, aplicamos
em
:
Passo 3
Agora, vamos descobrir o domínio de
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Como
é um polinômio, ele está definido para todo número real. E como
também é um polinômio
, não há restrições adicionais. Portanto, o domínio de
é todos os números reais:
Passo 4
Vamos calcular agora
. Aqui, primeiro aplicamos
e depois usamos o resultado na função
.
A função
é:
Aplicando
em
:
Vamos expandir:
Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o domínio de
. Novamente,
e
são polinômios, que estão definidos para todo número real. Portanto, o domínio de
é também todos os números reais:
Passo 6
Vamos calcular
. Isso significa que vamos aplicar a função
duas vezes.
Primeiro, aplicamos
:
Agora, aplicamos
novamente no resultado:
Passo 7
O domínio de
também é todos os números reais, já que
é um polinômio válido para qualquer
:
Passo 8
Finalmente, vamos calcular
. Aqui, aplicamos a função
duas vezes.
Primeiro, aplicamos
:
Agora, aplicamos
novamente no resultado:
Expandindo:
Então:
Passo 9
O domínio de
também é todos os números reais, já que estamos lidando com polinômios em cada etapa:
Resposta
As composições das funções e seus domínios são: