Use o Teorema de Gauss para calcular
∬_{S}\left(x^{2}+y^{2}-3 z^{2}\right) d S, em que S é a superfície da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, acima do plano z=0.

Passo 1

O enunciado pede o valor do integral de superfície
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}-3 z^{2}\right)\,dS,
onde S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 que fica acima do plano z=0 (ou seja, o semiespaço superior da esfera de raio 2). Informação relevante fornecida:
  • A superfície S é a superfície curva da semiesfera superior de raio 2.
  • O integrando é a função escalar x^{2}+y^{2}-3z^{2} multiplicando dS.
  • O contorno da região 3D correspondente é formado pela superfície esférica S mais o disco plano no plano z=0 de raio 2.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): vou transformar a integral de superfície escalar em um fluxo de um campo vetorial pela superfície, para então usar o teorema que relaciona fluxo pela superfície fechada ao integral de volume do divergente. Primeiro preciso de um campo vetorial \mathbf{F} tal que em pontos da esfera a componente normal de \mathbf{F} (ou seja, \mathbf{F}\cdot\hat{n}) seja exatamente x^{2}+y^{2}-3z^{2}. Para uma esfera de raio 2, o versor normal unitário exterior é
\hat{n}=\frac{(x,y,z)}{2}.
Se eu definir
\mathbf{F}=\frac{1}{2}\big(x(x^{2}+y^{2}-3z^{2}),\;y(x^{2}+y^{2}-3z^{2}),\;z(x^{2}+y^{2}-3z^{2})\big),
então, no ponto da esfera, temos
\mathbf{F}\cdot\hat{n}=x^{2}+y^{2}-3z^{2},
logo
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}-3z^{2}\right)\,dS=\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\hat{n}\,dS,
ou seja, a integral escalar pedida é o fluxo de \mathbf{F} através de S.

Passo 3

Vou aplicar o teorema do fluxo sobre a superfície fechada que limita o volume V (o volume é a bola superior de raio 2): a fronteira \partial V é a união da superfície esférica S (com normal exterior apontando para fora da bola) e do disco plano D em z=0 (onde o normal exterior da região é -\mathbf{k}, isto é, apontando para baixo). O teorema que usarei diz
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\hat{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV.
Portanto
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\hat{n}\,dS+\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\hat{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV.
Vou calcular \operatorname{div}\mathbf{F} e a contribuição do disco D.

Passo 4

Calcular \operatorname{div}\mathbf{F}. Escrevendo \mathbf{F}=\tfrac{1}{2}(F_1,F_2,F_3) com F_1=x(x^{2}+y^{2}-3z^{2}), F_2=y(x^{2}+y^{2}-3z^{2}), F_3=z(x^{2}+y^{2}-3z^{2}), temos
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\right).
Calcule cada derivada:
\frac{\partial F_1}{\partial x}=(x^{2}+y^{2}-3z^{2})+x\cdot 2x=3x^{2}+y^{2}-3z^{2},
\frac{\partial F_2}{\partial y}=(x^{2}+y^{2}-3z^{2})+y\cdot 2y=x^{2}+3y^{2}-3z^{2},
\frac{\partial F_3}{\partial z}=(x^{2}+y^{2}-3z^{2})+z\cdot(-6z)=x^{2}+y^{2}-9z^{2}.
Somando:
\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}=5x^{2}+5y^{2}-15z^{2}=5(x^{2}+y^{2}-3z^{2}).
Portanto
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{1}{2}\cdot 5(x^{2}+y^{2}-3z^{2})=\frac{5}{2}(x^{2}+y^{2}-3z^{2}).

Passo 5

Calcular a contribuição do disco D (o disco em z=0, raio 2). No plano z=0 temos z=0, então a componente F_3 é zero ali e
\mathbf{F}(x,y,0)=\frac{1}{2}\big(x(x^{2}+y^{2}),\;y(x^{2}+y^{2}),\;0\big).
O normal exterior à bola sobre o disco é \hat{n}_D=-\mathbf{k}. Assim
\mathbf{F}\cdot\hat{n}_D = \mathbf{F}\cdot(-\mathbf{k})=0.
Logo a contribuição do disco é zero:
\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\hat{n}\,dS=0.

Passo 6

Usando o resultado do Passo 4 e o Passo 5 no teorema da divergência, obtemos
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\hat{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV =\iiint_{V}\frac{5}{2}(x^{2}+y^{2}-3z^{2})\,dV.
Lembrando que isso é igual à integral pedida:
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}-3z^{2}\right)\,dS=\frac{5}{2}\iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}-3z^{2}\right)\,dV.

Passo 7

Calcular o integral de volume \displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}-3z^{2}\right)\,dV. Usarei coordenadas esféricas para a semiesfera superior: 0\le\rho\le 2, 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2} (colatitude), 0\le\theta\le 2\pi. Em esféricas:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2},\qquad x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi,\qquad z=\rho\cos\varphi,
portanto
x^{2}+y^{2}-3z^{2}=\rho^{2}\big(\sin^{2}\varphi-3\cos^{2}\varphi\big)=\rho^{2}\big(1-4\cos^{2}\varphi\big).
O elemento de volume é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Assim o integrando torna-se
(\rho^{2}(1-4\cos^{2}\varphi))\cdot(\rho^{2}\sin\varphi)=\rho^{4}(1-4\cos^{2}\varphi)\sin\varphi.
Logo
\iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}-3z^{2}\right)\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!d\theta\int_{0}^{\pi/2}\!\!(1-4\cos^{2}\varphi)\sin\varphi\,d\varphi\int_{0}^{2}\rho^{4}\,d\rho.

Passo 8

Calcule cada integral separadamente. Primeiro a integral em \rho:
\int_{0}^{2}\rho^{4}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{5}}{5}\right|_{0}^{2}=\frac{2^{5}}{5}=\frac{32}{5}.
Depois a integral em \varphi. Faça a substituição u=\cos\varphi, então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=1; quando \varphi=\frac{\pi}{2} temos u=0. Assim
\int_{0}^{\pi/2}(1-4\cos^{2}\varphi)\sin\varphi\,d\varphi =\int_{1}^{0}(1-4u^{2})(-du)=\int_{0}^{1}(1-4u^{2})\,du.
Essa integral vale
\left.u-\frac{4}{3}u^{3}\right|_{0}^{1}=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}.
Finalmente a integral em \theta é \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.

Passo 9

Juntando tudo:
\iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}-3z^{2}\right)\,dV =2\pi\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{32}{5} =-\frac{64\pi}{15}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{5}{2} do Passo 6:
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}-3z^{2}\right)\,dS =\frac{5}{2}\cdot\left(-\frac{64\pi}{15}\right) =-\frac{320\pi}{30}=-\frac{32\pi}{3}.

Resposta

-\dfrac{32\pi}{3}

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