Use o Teorema de Gauss para calcular ∬_{S}\left(x^{2}+y^{2}-3 z^{2}\right) d S, em que S é a superfície da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, acima do plano z=0.
Passo 1
O enunciado pede o valor do integral de superfície
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}-3 z^{2}\right)\,dS,
onde S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 que fica acima do plano z=0 (ou seja, o semiespaço superior da esfera de raio 2). Informação relevante fornecida:
A superfície S é a superfície curva da semiesfera superior de raio 2.
O integrando é a função escalar x^{2}+y^{2}-3z^{2} multiplicando dS.
O contorno da região 3D correspondente é formado pela superfície esférica S mais o disco plano no plano z=0 de raio 2.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): vou transformar a integral de superfície escalar em um fluxo de um campo vetorial pela superfície, para então usar o teorema que relaciona fluxo pela superfície fechada ao integral de volume do divergente. Primeiro preciso de um campo vetorial \mathbf{F} tal que em pontos da esfera a componente normal de \mathbf{F} (ou seja, \mathbf{F}\cdot\hat{n}) seja exatamente x^{2}+y^{2}-3z^{2}. Para uma esfera de raio 2, o versor normal unitário exterior é
ou seja, a integral escalar pedida é o fluxo de \mathbf{F} através de S.
Passo 3
Vou aplicar o teorema do fluxo sobre a superfície fechada que limita o volume V (o volume é a bola superior de raio 2): a fronteira \partial V é a união da superfície esférica S (com normal exterior apontando para fora da bola) e do disco plano D em z=0 (onde o normal exterior da região é -\mathbf{k}, isto é, apontando para baixo). O teorema que usarei diz
Calcular o integral de volume \displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}-3z^{2}\right)\,dV. Usarei coordenadas esféricas para a semiesfera superior: 0\le\rho\le 2, 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2} (colatitude), 0\le\theta\le 2\pi. Em esféricas:
Depois a integral em \varphi. Faça a substituição u=\cos\varphi, então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=1; quando \varphi=\frac{\pi}{2} temos u=0. Assim