Um fio de raio
conduz uma corrente I. Determine o campo magnético no interior do fio
(a) a uma distância
de seu eixo.
(b) a uma distância
de seu eixo.
(c) 0 elemento nióbio, um metal, é um supercondutor em temperaturas abaixo de 9 K . Todavia a supercondutividade desaparecerá se o campo magnético na superfície do metal exceder a
. Qual é a máxima corrente possível em um fio supercondutor reto, feito de nióbio, com
de diâmetro?
(a) a uma distância
(b) a uma distância
(c) 0 elemento nióbio, um metal, é um supercondutor em temperaturas abaixo de 9 K . Todavia a supercondutividade desaparecerá se o campo magnético na superfície do metal exceder a
Passo 1
O enunciado pede três coisas distintas:
- (a) Calcular o campo magnético no exterior do fio, a uma distância
do eixo. - (b) Calcular o campo magnético no interior do fio, a uma distância
do eixo. - (c) Usar a informação de que a supercondutividade do nióbio some se o campo magnético na superfície exceder
para achar a máxima corrente possível em um fio reto de nióbio com diâmetro .
Dados relevantes fornecidos:
- O fio é cilíndrico com raio
. - O fio conduz uma corrente total
(assumimos corrente distribuída uniformemente na seção transversal, a menos que indicado o contrário). - Para o item (c): campo crítico na superfície
e diâmetro do fio (logo ).
Passo 2
Princípio físico que usamos (aqui eu ensino com calma): Lei de Ampère.
- A Lei de Ampère diz que a circulação do campo magnético
ao longo de um caminho fechado é igual a vezes a corrente elétrica total que atravessa a superfície delimitada por esse caminho:
- Aqui
é a permeabilidade magnética do vácuo, valendo . - Por simetria (fio longo e cilíndrico, corrente axial), o campo magnético tem linhas circulares concêntricas ao eixo do fio e a magnitude
é constante ao longo de uma circunferência de raio . Assim a integral fica simples:
- O passo seguinte é calcular a corrente enquadrada
pela circunferência de raio . Se , toda a corrente está dentro; se , apenas a fração da corrente proporcional à área está dentro (assumindo densidade de corrente uniforme).
Passo 3
Cálculo do caso (a):
(fora do fio).
- Para um raio de Ampère
com , toda a corrente está dentro do laço, então . - Aplicando Ampère:
- Isolando
:
- Interpretação e direção: o vetor
tem direção tangencial (circular) em torno do eixo, dada pela regra da mão direita (se o polegar aponta na direção da corrente, os dedos indicam a direção de ). Essa expressão é idêntica à do fio fino infinito com corrente .
Passo 4
Explicação da densidade de corrente (para usar no caso interno):
- Densidade de corrente (corrente por área) é definida como
para distribuição uniforme. Aqui a área da seção transversal do fio é . - Assim a densidade de corrente (magnitude) é
- Se consideramos uma circunferência de raio
, a corrente dentro dessa circunferência é a densidade vezes a área da seção menor:
- Isso faz sentido físico: a fração da corrente dentro de raio
é igual à fração da área .
Passo 5
Cálculo do caso (b):
(dentro do fio).
- Usamos Ampère com
e :
- Isolando
:
- Portanto:
- Observação física: dentro do fio o campo cresce linearmente com
(pois ), atinge máximo na superfície , e para decresce como . Se você verificar em ambas as fórmulas coincidem:
que é o mesmo valor obtido pelo caso externo com
.
Passo 6
Resolvendo o item (c): corrente máxima para não ultrapassar
na superfície.
- Na superfície do fio
o campo dado por qualquer das expressões é
- Queremos
. A corrente máxima é quando , então:
- Agora plugamos os números. Primeiro o raio: diâmetro
. - Usamos
. Então
- Simplificando a parte que contém
:
- Continuando a conta:
- Calcule passo a passo:
. Multiplicando por dá . - Logo
- Interpretação: um fio reto de nióbio com
de diâmetro não pode carregar corrente maior que aproximadamente sem que o campo na superfície exceda e destrua a supercondutividade (segundo a condição dada).
Resposta
(a)
.
(b)
.
(c)
.