Um fio de raio R conduz uma corrente I. Determine o campo magnético no interior do fio
(a) a uma distância \mathrm{r}_{1}>\mathrm{R} de seu eixo.
(b) a uma distância \mathrm{r}_{2}<\mathrm{R} de seu eixo.
(c) 0 elemento nióbio, um metal, é um supercondutor em temperaturas abaixo de 9 K . Todavia a supercondutividade desaparecerá se o campo magnético na superfície do metal exceder a 0,10 \mathrm{~T}. Qual é a máxima corrente possível em um fio supercondutor reto, feito de nióbio, com 3,0 \mathrm{~mm} de diâmetro?

Passo 1

O enunciado pede três coisas distintas:
  • (a) Calcular o campo magnético no exterior do fio, a uma distância \mathrm{r}_{1}>\mathrm{R} do eixo.
  • (b) Calcular o campo magnético no interior do fio, a uma distância \mathrm{r}_{2}<\mathrm{R} do eixo.
  • (c) Usar a informação de que a supercondutividade do nióbio some se o campo magnético na superfície exceder 0,10\\ \mathrm{T} para achar a máxima corrente possível em um fio reto de nióbio com diâmetro 3{,}0\\ \mathrm{mm}.
Dados relevantes fornecidos:
  • O fio é cilíndrico com raio \mathrm{R}.
  • O fio conduz uma corrente total \mathrm{I} (assumimos corrente distribuída uniformemente na seção transversal, a menos que indicado o contrário).
  • Para o item (c): campo crítico na superfície B_{\text{crit}}=0{,}10\\ \mathrm{T} e diâmetro do fio d=3{,}0\\ \mathrm{mm} (logo \mathrm{R}=d/2).

Passo 2

Princípio físico que usamos (aqui eu ensino com calma): Lei de Ampère.
  • A Lei de Ampère diz que a circulação do campo magnético \mathbf{B} ao longo de um caminho fechado é igual a \mu_{0} vezes a corrente elétrica total que atravessa a superfície delimitada por esse caminho:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_{0} I_{\text{enc}}.
  • Aqui \mu_{0} é a permeabilidade magnética do vácuo, valendo \mu_{0}=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
  • Por simetria (fio longo e cilíndrico, corrente axial), o campo magnético tem linhas circulares concêntricas ao eixo do fio e a magnitude B é constante ao longo de uma circunferência de raio r. Assim a integral fica simples:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B(2\pi r).
  • O passo seguinte é calcular a corrente enquadrada I_{\text{enc}} pela circunferência de raio r. Se r>R, toda a corrente \mathrm{I} está dentro; se r<R, apenas a fração da corrente proporcional à área está dentro (assumindo densidade de corrente uniforme).

Passo 3

Cálculo do caso (a): \mathrm{r}_{1} > \mathrm{R} (fora do fio).
  • Para um raio de Ampère r=\mathrm{r}_{1} com \mathrm{r}_{1}>\mathrm{R}, toda a corrente \mathrm{I} está dentro do laço, então I_{\text{enc}}=\mathrm{I}.
  • Aplicando Ampère:
B(2\pi \mathrm{r}_{1})=\mu_{0}\mathrm{I}.
  • Isolando B:
B(\mathrm{r}_{1})=\frac{\mu_{0}\mathrm{I}}{2\pi \mathrm{r}_{1}}.
  • Interpretação e direção: o vetor \mathbf{B} tem direção tangencial (circular) em torno do eixo, dada pela regra da mão direita (se o polegar aponta na direção da corrente, os dedos indicam a direção de \mathbf{B}). Essa expressão é idêntica à do fio fino infinito com corrente \mathrm{I}.

Passo 4

Explicação da densidade de corrente (para usar no caso interno):
  • Densidade de corrente (corrente por área) é definida como \mathbf{J}=\dfrac{\mathrm{I}}{A} para distribuição uniforme. Aqui a área da seção transversal do fio é A=\pi \mathrm{R}^{2}.
  • Assim a densidade de corrente (magnitude) é
J=\frac{\mathrm{I}}{\pi \mathrm{R}^{2}}.
  • Se consideramos uma circunferência de raio r=\mathrm{r}_{2}<\mathrm{R}, a corrente dentro dessa circunferência é a densidade vezes a área da seção menor:
I_{\text{enc}}=J\cdot (\pi \mathrm{r}_{2}^{2})=\frac{\mathrm{I}}{\pi \mathrm{R}^{2}}\cdot \pi \mathrm{r}_{2}^{2}=\mathrm{I}\,\frac{\mathrm{r}_{2}^{2}}{\mathrm{R}^{2}}.
  • Isso faz sentido físico: a fração da corrente dentro de raio \mathrm{r}_{2} é igual à fração da área \mathrm{r}_{2}^{2}/\mathrm{R}^{2}.

Passo 5

Cálculo do caso (b): \mathrm{r}_{2} < \mathrm{R} (dentro do fio).
  • Usamos Ampère com r=\mathrm{r}_{2} e I_{\text{enc}}=\mathrm{I}\,\dfrac{\mathrm{r}_{2}^{2}}{\mathrm{R}^{2}}:
B(2\pi \mathrm{r}_{2})=\mu_{0}\left(\mathrm{I}\frac{\mathrm{r}_{2}^{2}}{\mathrm{R}^{2}}\right).
  • Isolando B:
B(\mathrm{r}_{2})=\frac{\mu_{0}\mathrm{I}}{2\pi}\cdot\frac{\mathrm{r}_{2}^{2}}{\mathrm{R}^{2}}\cdot\frac{1}{\mathrm{r}_{2}} =\frac{\mu_{0}\mathrm{I}}{2\pi}\cdot\frac{\mathrm{r}_{2}}{\mathrm{R}^{2}}.
  • Portanto:
B(\mathrm{r}_{2})=\frac{\mu_{0}\mathrm{I}\,\mathrm{r}_{2}}{2\pi \mathrm{R}^{2}}.
  • Observação física: dentro do fio o campo cresce linearmente com r (pois B\propto \mathrm{r}_{2}), atinge máximo na superfície r=\mathrm{R}, e para r>\mathrm{R} decresce como 1/r. Se você verificar em r=\mathrm{R} ambas as fórmulas coincidem:
B_{\text{na superfície}}=\frac{\mu_{0}\mathrm{I}}{2\pi \mathrm{R}},í
que é o mesmo valor obtido pelo caso externo com r_{1}=\mathrm{R}.

Passo 6

Resolvendo o item (c): corrente máxima para não ultrapassar B_{\text{crit}} na superfície.
  • Na superfície do fio r=\mathrm{R} o campo dado por qualquer das expressões é
B_{\text{surf}}=\frac{\mu_{0}\mathrm{I}}{2\pi \mathrm{R}}.
  • Queremos B_{\text{surf}}\le B_{\text{crit}}=0{,}10\\ \mathrm{T}. A corrente máxima \mathrm{I}_{\max} é quando B_{\text{surf}}=B_{\text{crit}}, então:
\mathrm{I}_{\max}=\frac{2\pi \mathrm{R} B_{\text{crit}}}{\mu_{0}}.
  • Agora plugamos os números. Primeiro o raio: diâmetro d=3{,}0\\ \mathrm{mm}\Rightarrow \mathrm{R}=\dfrac{d}{2}=1{,}5\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Usamos \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}. Então
\mathrm{I}_{\max}=\frac{2\pi (1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m})(0{,}10\\ \mathrm{T})}{4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}}.
  • Simplificando a parte que contém \pi:
\frac{2\pi}{4\pi\times10^{-7}}=\frac{1}{2}\times10^{7}=5{,}0\times10^{6}.
  • Continuando a conta:
\mathrm{I}_{\max}=0{,}10\times(1{,}5\times10^{-3})\times(5{,}0\times10^{6})\\ \mathrm{A}.
  • Calcule passo a passo: 1{,}5\times10^{-3}\times5{,}0\times10^{6}=1{,}5\times5{,}0\times10^{3}=7{,}5\times10^{3}=7500. Multiplicando por 0{,}10 750.
  • Logo
\mathrm{I}_{\max}=750\\ \mathrm{A}.
  • Interpretação: um fio reto de nióbio com 3{,}0\\ \mathrm{mm} de diâmetro não pode carregar corrente maior que aproximadamente 750\\ \mathrm{A} sem que o campo na superfície exceda 0{,}10\\ \mathrm{T} e destrua a supercondutividade (segundo a condição dada).

Resposta

(a) \displaystyle B(\mathrm{r}_{1})=\frac{\mu_{0}\mathrm{I}}{2\pi \mathrm{r}_{1}}.
(b) \displaystyle B(\mathrm{r}_{2})=\frac{\mu_{0}\mathrm{I}\,\mathrm{r}_{2}}{2\pi \mathrm{R}^{2}}.
(c) \displaystyle \mathrm{I}_{\max}=750\\ \mathrm{A}.

Exercícios relacionados