Encontre todas as formas canônicas racionais possíveis para:
(ii) matrizes
com polinômio mínimo
.
(ii) matrizes
Passo 1
Temos que encontrar todas as decomposições em forma canônica racional (isto é, em blocos de companion de fatores invariantes) de matrizes de ordem
cujo polinômio mínimo é
O teorema da forma canônica racional nos diz que devemos determinar os fatores invariantes
com
e
.
Passo 2
Os fatores irreducíveis em
são
com expoentes máximos na forma mínima
e
, respectivamente. Os divisores elementares possíveis são:
– blocos de de tamanho
(expoente
),
– blocos de de tamanho
(expoente
) ou
(expoente
).
Sejam o número de blocos de
,
o número de blocos de
e
o número de blocos de
. A dimensão total impõe
– blocos de
– blocos de
Sejam
e para garantir que
precisamos
e
.
Passo 3
Resolvendo
obtemos exatamente seis soluções inteiras:
Passo 4
Para cada tripla
construímos as partições decrescentes de expoentes de
e
, alinhamos os vetores de comprimento
e definimos, para
,
onde
é a partição decrescente de expoentes de
. Em seguida invertemos a ordem:
para obter
Passo 5
Listamos as seis formas canônicas racionais (cada somatório direto é de blocos companion
):
Resposta
As seis formas canônicas racionais acima.