Encontre todas as formas canônicas racionais possíveis para:
(ii) matrizes 8 times 8 com polinômio mínimo m(t)=(t^2+2)(t+3)^2.

Passo 1

Temos que encontrar todas as decomposições em forma canônica racional (isto é, em blocos de companion de fatores invariantes) de matrizes de ordem 8 cujo polinômio mínimo é
m(t)=(t^2+2),(t+3)^2
O teorema da forma canônica racional nos diz que devemos determinar os fatores invariantes
g1(t)mid g2(t)mid cdotsmid gs(t),
com sumi=1^sdeg gi=8 e lcm(g1,dots,gs)=m(t).

Passo 2

Os fatores irreducíveis em Bbb R[t] são
p1(t)=t^2+2, p2(t)=t+3,
com expoentes máximos na forma mínima 1 e 2, respectivamente. Os divisores elementares possíveis são:
– blocos de p1 de tamanho 2 (expoente <=1),
– blocos de p2 de tamanho 1 (expoente 1) ou 2 (expoente 2).
Sejam a o número de blocos de p1, b2 o número de blocos de (t+3)^2 e b1 o número de blocos de (t+3). A dimensão total impõe
2a + 2b2 + b1 = 8,
e para garantir que lcm=p1^1p2^2 precisamos a>=1 e b2>=1.

Passo 3

Resolvendo
2a+2b2+b1=8, a>=1,;b2>=1,;b1>=0,
obtemos exatamente seis soluções inteiras:
(a,b2,b1)in (1,1,4),,(1,2,2),,(2,1,2),,(1,3,0),,(2,2,0),,(3,1,0)

Passo 4

Para cada tripla (a,b2,b1) construímos as partições decrescentes de expoentes de p1 e p2, alinhamos os vetores de comprimento
s=maxl(a,;b1+b2r)
e definimos, para j=1,dots,s,
hj(t)=l(t^2+2r)^ej,p1,(t+3)^ej,p2,
onde (e1,p,dots,es,p) é a partição decrescente de expoentes de p. Em seguida invertemos a ordem:
gi(t)=h,s-i+1(t),
para obter
g1mid g2midcdotsmid gs, sumideg gi=8, gs=m(t)

Passo 5

Listamos as seis formas canônicas racionais (cada somatório direto é de blocos companion C(gi)):
(1) C(t+3),oplus,C(t+3),oplus,C(t+3),oplus,C(t+3),oplus,Cl((t^2+2)(t+3)^2r),
(2) C(t+3),oplus,C(t+3),oplus,Cl((t+3)^2r),oplus,Cl((t^2+2)(t+3)^2r),
(3) C(t+3),oplus,Cl((t^2+2)(t+3)r),oplus,Cl((t^2+2)(t+3)^2r),
(4) Cl((t+3)^2r),oplus,Cl((t+3)^2r),oplus,Cl((t^2+2)(t+3)^2r),
(5) Cl((t^2+2)(t+3)^2r),oplus,Cl((t^2+2)(t+3)^2r),
(6) C(t^2+2),oplus,C(t^2+2),oplus,Cl((t^2+2)(t+3)^2r)

Resposta

As seis formas canônicas racionais acima.

Exercícios relacionados