Verificar se são L.I ou L.D os seguintes conjuntos:
\left\{\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -4 & -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}3 & 6 \\\\ -12 & -9\end{array}\right]\right\} \subset \mathrm{M}(2,2) onde \mathrm{M}(2,2) é o espaço vetorial das matrizes 2 \times 2.

Passo 1

Temos em \mathrm{M}(2,2) o conjunto de matrizes
A_{1} = \begin{pmatrix}1 & 2\\\\ -4 & -3\end{pmatrix}, \quad A_{2} = \begin{pmatrix}3 & 6\\\\ -12 & -9\end{pmatrix}
e queremos verificar se \{A_{1},A_{2}\} é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.). O conteúdo utilizado será a definição de combinação linear em espaços vetoriais.

Passo 2

Em um espaço vetorial, vetores (ou matrizes) \{v_{1},v_{2}\} são L.I. se a única solução de\r
c_{1}\,v_{1} + c_{2}\,v_{2} = 0\r
for c_{1}=c_{2}=0. Se existir solução não trivial (algum c_{i}\neq0), então são L.D. Um caso clássico de L.D. é quando um vetor é múltiplo escalar do outro.

Passo 3

Observe que\r
3\,A_{1} =3\begin{pmatrix}1 & 2\\\\ -4 & -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 6\\\\ -12 & -9\end{pmatrix} = A_{2}.\r
Isso mostra imediatamente que existe combinação não trivial:\r
(-3)\,A_{1} + 1\cdot A_{2} = 0,\r
com (c_{1},c_{2}) = (-3,1)\neq(0,0).

Passo 4

Como A_{2} é múltiplo de A_{1}, a combinação linear não trivial acima prova que \{A_{1},A_{2}\} é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto \{A_{1},A_{2}\} é linearmente dependente.

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