Encontre todas as matrizes ccx & y z & w que comutam com ll0 & 1 1 & 1 e com ll1 & 1 0 & 1.

Passo 1

A questão pede todas as matrizes 2×2 M= x&yz&w que comutam simultaneamente com A=0&11&1 e B=1&10&1. O conteúdo é álgebra linear envolvendo comutadores de matrizes e vamos precisar resolver o sistema linear que surge de MA=AM e MB=BM.

Passo 2

Vamos calcular primeiro MA e AM. Seja M=x&yz&w. Então:
MA=x&yz&w0&11&1=y&x+yw&z+w,
AM=0&11&1x&yz&w=z&wx+z&y+w
Igualando MA=AM obtemos o sistema:
y=z, x+y=w, w=x+z
Daí vem y=z e w=x+y.

Passo 3

Agora vamos a MB=BM.
MB=x&yz&w1&10&1=x&x+yz&z+w,
BM=1&10&1x&yz&w=x+z&y+wz&w
Igualando MB=BM surge
x=x+z, x+y=y+w, z+w=w
Desse sistema tiramos z=0, w=x e, combinando com o resultado anterior y=z=0.

Passo 4

Logo a única forma de M é
M=x&00&x,
com x arbitrário.

Resposta

x & 00 & x, com x arbitrário.

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