Sejam
com a seguinte propriedade: "sempre que
então
0 , para
. Mostre que
para algum
.
Passo 1
Temos um espaço vetorial V sobre o corpo
e vetores
tais que para toda forma linear
(isto é,
), se
então
. O conteúdo aqui é espaço dual, núcleo de formas lineares e escolha de base sempre que necessário.
Passo 2
Primeiro, analisamos o caso trivial em que
. Nesse caso, para toda forma
, temos
, e pela hipótese sempre
. Mas isso implica que
pertence ao núcleo de toda forma linear de
, o que só acontece se e somente se
. Logo
(basta tomar qualquer
).
Passo 3
Agora suponha
. Podemos estender
a uma base de
. Isto é, existem vetores
tais que
Passo 4
Escrevemos então
em coordenadas nessa base:
Passo 5
Se
, então podemos definir uma forma linear
por
Passo 6
Essa
satisfaz
mas
Passo 7
contrariando a hipótese de que toda forma que anula
também anula
.
Logo a componente deve ser zero, ou seja,
para algum
.
Logo a componente
Resposta
v=\alpha,u para algum
.