Sejam u, v in V com a seguinte propriedade: "sempre que T(u)=0 então T(v)= 0 , para T in V^* prime prime. Mostre que v=alpha u para algum alpha in K.

Passo 1

Temos um espaço vetorial V sobre o corpo K e vetores u,vin V tais que para toda forma linear Tin V^* (isto é, T:Vto K), se T(u)=0 então T(v)=0. O conteúdo aqui é espaço dual, núcleo de formas lineares e escolha de base sempre que necessário.

Passo 2

Primeiro, analisamos o caso trivial em que u=0. Nesse caso, para toda forma T, temos T(u)=T(0)=0, e pela hipótese sempre T(v)=0. Mas isso implica que v pertence ao núcleo de toda forma linear de V, o que só acontece se e somente se v=0. Logo v=0=alpha u (basta tomar qualquer alphain K).

Passo 3

Agora suponha uneq0. Podemos estender u a uma base de V. Isto é, existem vetores w2,dots,wn tais que
u,w2,dots,wné base de Vé

Passo 4

Escrevemos então v em coordenadas nessa base:
v=alpha,u + w,com w=sumi=2^nbetaiwi

Passo 5

Se wneq0, então podemos definir uma forma linear varphiin V^* por
varphi(u)=0,varphi(w)=1,varphi(wi)=0 (ineq2, por exemplo)

Passo 6

Essa varphi satisfaz varphi(u)=0 mas
varphi(v)=varphi(alpha u + w)=alpha,varphi(u)+varphi(w)=0+1=1neq0,

Passo 7

contrariando a hipótese de que toda forma que anula u também anula v.
Logo a componente w deve ser zero, ou seja, v=alpha u para algum alphain K.

Resposta

v=\alpha,u para algum alphain K.

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