Encontre todas as matrizes diagonais A de tamanho 3 times 3 que satisfazem A^2-3 A-4 I=0.
29. Seja A=[ai j] uma matriz n times n. Em cada caso, determine se A é simétrica.
(a) ai j=i^2+j^2

Passo 1

O enunciado tem duas partes.
A primeira pede: encontre todas as matrizes diagonais A de ordem 3 que satisfazem
A^2 - 3A - 4I = 0
A segunda pergunta: seja A=[aij] com aij=i^2+j^2. Determine se essa A é simétrica.

Passo 2

Para a parte 1, note que uma matriz diagonal de ordem 3 pode ser escrita como
A = diag(d1,d2,d3)
Então
A^2 - 3A - 4I = diag(d1^2-3d1-4,;d2^2-3d2-4,;d3^2-3d3-4)
Para que isso seja a matriz zero, precisamos ter, para cada i,
di^2 - 3di - 4 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
d^2 - 3d - 4 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara e achamos as raízes
d = 4 ou d = -1
Logo cada di deve ser 4 ou -1. Portanto todas as soluções são
A = diag(e1,e2,e3),
onde cada eiin4,-1. Há 2^3=8 matrizes desse tipo.

Passo 4

Para a parte 2, verificamos simetria comparando aij e aji.
Como
aij=i^2+j^2 e aji=j^2+i^2,
vemos que aij=aji para todo i,j. Logo A é simétrica.

Resposta

(i) As matrizes diagonais que satisfazem A^2-3A-4I=0 são
A=diag(e1,e2,e3) com eiin4,-1
(ii) A matriz definida por aij=i^2+j^2 é simétrica.

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