Encontre todas as matrizes diagonais
de tamanho
que satisfazem
.
29. Seja
uma matriz
. Em cada caso, determine se
é simétrica.
(a)
29. Seja
(a)
Passo 1
O enunciado tem duas partes.
A primeira pede: encontre todas as matrizes diagonais de ordem
que satisfazem
A primeira pede: encontre todas as matrizes diagonais
A segunda pergunta: seja
com
. Determine se essa
é simétrica.
Passo 2
Para a parte 1, note que uma matriz diagonal de ordem 3 pode ser escrita como
Então
Para que isso seja a matriz zero, precisamos ter, para cada
,
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
usamos a fórmula de Bhaskara e achamos as raízes
Logo cada
deve ser
ou
. Portanto todas as soluções são
onde cada
. Há
matrizes desse tipo.
Passo 4
Para a parte 2, verificamos simetria comparando
e
.
Como
Como
vemos que
para todo
. Logo
é simétrica.
Resposta
(i) As matrizes diagonais que satisfazem
são
(ii) A matriz definida por
é simétrica.