Verifique se as aplicações abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.
e. F5: R^2 R dada por F5(x, y)=x-y^2.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
F5colon R^2toR, F5(x,y)=x - y^2
O objetivo é verificar injetividade (se imagens iguais obrigam os pares a serem iguais) e sobrejetividade (se todo zinR tem um par (x,y) com F5(x,y)=z).

Passo 2

Verificando injetividade: suponha
F5(x1,y1) = F5(x2,y2) Longrightarrow x1 - y1^2 = x2 - y2^2
Se fosse injetora, teríamos (x1,y1)=(x2,y2). Mas basta um contraexemplo. Por exemplo,
F5(0,0)=0-0^2=0, F5(1,1)=1-1^2=0,
e (0,0)neq(1,1) mas F5(0,0)=F5(1,1). Logo F5 não é injetora.

Passo 3

Verificando sobrejetividade: seja um valor qualquer zinR. Queremos (x,y) tal que
x - y^2 = z
Basta escolher qualquer y (por exemplo y=0) e definir
x = z + y^2
Então
F5(z+y^2,,y) = (z+y^2) - y^2 = z,
o que mostra que todo z tem antecedente. Logo F5 é sobrejetora.

Resposta

F5 não é injetora, é sobrejetora e, portanto, não é bijetora.

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