Use o método para achar inversa de matriz 2 times 2 para calcular a inversa das matrizes:
(a) [ll3 & 1 5 & 2]
(b) [cccos theta & sin theta -sen theta & cos theta]

Passo 1

O enunciado pede para achar a inversa de duas matrizes 2times2 usando o método padrão. Para isso, precisaremos calcular o determinante de cada matriz e, se ele for diferente de zero, aplicar a fórmula geral de inversão para matrizes 2times2.

Passo 2

Seja
A = a & b [6pt] c & d
O determinante de A é
det(A) = ad - bc
Se det(A) neq 0, então
A^-1 = 1ad - bcd & -b [6pt] -c & a ]

Passo 3

Para a matriz
A = 3 & 1 [4pt] 5 & 2,
temos a=3, b=1, c=5, d=2. O determinante é
det(A) = 3cdot 2 - 1cdot 5 = 6 - 5 = 1 neq 0
Logo,
A^-1 = 112 & -1 [4pt] -5 & 3 = 2 & -1 [4pt] -5 & 3 ]

Passo 4

Para a matriz
B = costheta & sintheta [4pt] -sintheta & costheta,
temos a=costheta, b=sintheta, c=-sintheta, d=costheta. O determinante é
det(B) = costhetacdotcostheta - sinthetacdot(-sintheta) = cos^2theta + sin^2theta = 1 neq 0
Portanto,
B^-1 = 11costheta & -sintheta [4pt] sintheta & costheta = costheta & -sintheta [4pt] sintheta & costheta ]

Resposta

(a) 2 & -1 [4pt] -5 & 3
(b) costheta & -sintheta [4pt] sintheta & costheta]

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