Encontre todas as matrizes A quadradas de ordem 2 que comutam com todas as outras matrizes quadradas de ordem 2 . Dica: Tome A=[lla & b c & d] e veja o que a, b, c e d tevem obedecer para valha A E=E A, testando E=[ll1 & 0 0 & 0], E=[ll0 & 1 0 & 0], E=[ll0 & 0 1 & 0], etc.

Passo 1

O enunciado pede todas as matrizes Ain M2(K) tais que
AX = XA
para todo Xin M2(K). Ou seja, queremos o centro da álgebra de todas as matrizes 2times 2. Para isso, escrevemos
A = a & b [6pt] c & d
e impomos a condição de comutação usando as matrizes-canônicas
,E11,E12,E21,E22,.
]

Passo 2

Tomemos . Calculamos
Igualando vêm

Passo 3

Agora X=E12=0&10&0. Temos
AE12 =a&00&d 0&10&0 =0&a0&0,
E12A =0&10&0 a&00&d =0&d0&0
Da igualdade AE12=E12A segue
a=d

Passo 4

As condições b=0, c=0 e d=a já garantem que A comuta com qualquer Eij, e portanto com toda Xin M2(Bbb K). Concluímos que
A=a&00&a =a,I2

Resposta

Todas as matrizes que comutam com toda matriz 2times2 são exatamente os múltiplos escalares da identidade:
A = lambda,I2, lambdainBbb K

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