Monte exemplos (escolhendo duas matrizes em M2(R), por exemplo) que mostram que as fórmulas abaixo listadas não funcionam para matrizes:
(A+B)^-1=A^-1+B^-1, mesmo no caso de A e B e A+B serem invertíveis.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a identidade
(A+B)^-1 = A^-1 + B^-1
não vale em geral para matrizes, mesmo quando A, B e A+B são todas invertíveis. Vamos dar dois exemplos em M2(R) que quebram essa fórmula.

Passo 2

Escolhemos um exemplo bem simples com matrizes escalares multiplicadas pela identidade. Defina
A = 1 & 0 0 & 1, B = 1 & 0 0 & 1
Então A e B são invertíveis e
A + B = 2 ,I2,
cuja inversa é
(A+B)^-1 = (2I2)^-1 = tfrac12,I2 = 12 & 0 [4pt] 0 & 12
Por outro lado,
A^-1 + B^-1 = I2 + I2 = 2 & 0 [4pt] 0 & 2
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(A+B)^-1 = 12 & 0 0 & 12 neq 2 & 0 0 & 2 = A^-1 + B^-1 ]

Passo 3

Para reforçar, escolhemos agora matrizes diagonais com entradas distintas. Seja
A = 1 & 0 0 & 2, B = 3 & 0 0 & 4
Ambas são invertíveis e
A+B = 4 & 0 0 & 6, (A+B)^-1 = 1/4 & 0 0 & 1/6
Por outro lado,
A^-1 = 1 & 0 0 & 1/2, B^-1 = 1/3 & 0 0 & 1/4,
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A^-1 + B^-1 = 1 + 1/3 & 0 0 & 1/2 + 1/4 = 4/3 & 0 0 & 3/4,
e claramente
(A+B)^-1 neq A^-1 + B^-1

Resposta

Exemplo 1:
A = I2, B = I2
Exemplo 2:
A = 1 & 0 0 & 2, B = 3 & 0 0 & 4

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