Monte exemplos (escolhendo duas matrizes em M2(R), por exemplo) que mostram que as fórmulas abaixo listadas não funcionam para matrizes:
(A B)^t=A^t B^t

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a fórmula incorreta
(AB)^t = A^t B^t
não vale em geral para matrizes. Na prática, a regra certa é
(AB)^t = B^t A^t
Vamos escolher duas matrizes A,Bin M2(R) e verificar que (AB)^tneq A^tB^t.

Passo 2

Escolhemos
A = 1 & 2 [6pt] 3 & 4, B = 0 & 1 [6pt] 1 & 0
Calculamos o produto AB:
AB = 1cdot0 + 2cdot1 & 1cdot1 + 2cdot0 [6pt] 3cdot0 + 4cdot1 & 3cdot1 + 4cdot0 = 2 & 1 [4pt] 4 & 3 ]

Passo 3

Agora tomamos a transposta de AB:
(AB)^t = 2 & 1 [4pt] 4 & 3^t = 2 & 4 [4pt] 1 & 3 ]

Passo 4

Em seguida, calculamos A^t e B^t e depois o produto A^tB^t:
A^t = 1 & 3 [4pt] 2 & 4, B^t = 0 & 1 [4pt] 1 & 0
A^tB^t = 1cdot0 + 3cdot1 & 1cdot1 + 3cdot0 [6pt] 2cdot0 + 4cdot1 & 2cdot1 + 4cdot0 = 3 & 1 [4pt] 4 & 2 ]

Passo 5

Comparando as duas matrizes:
(AB)^t = 2 & 4 [4pt] 1 & 3, A^tB^t = 3 & 1 [4pt] 4 & 2,
vê-se que
(AB)^t neq A^t B^t,
logo a fórmula dada não vale para essas matrizes.]

Resposta

Um contraexemplo é
A = 1 & 2 [4pt] 3 & 4, B = 0 & 1 [4pt] 1 & 0,
pois
(AB)^t = 2 & 4 [4pt] 1 & 3 e A^tB^t = 3 & 1 [4pt] 4 & 2,
e claramente (AB)^tneq A^tB^t.]

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