Encontre todas as matrizes triangulares A tais que A^2=B, com B=(cc1 & 4 0 & -9).

Passo 1

O enunciado pede todas as matrizes triangulares A de ordem 2 tais que
A^2 = B,
onde
B=1 & 4 [6pt] 0 & -9
O conteúdo da matéria é raiz quadrada de matrizes triangulares. Vamos supor
A=a & b [3pt] 0 & c
com a,b,cinC e determinar (a,b,c) satisfazendo A^2=B.]

Passo 2

Calculemos
A^2 =a & b [3pt] 0 & c a & b [3pt] 0 & c =a^2 & ab+bc [3pt] 0 & c^2
Pondo igual a B obtemos o sistema
a^2 = 1,[4pt] c^2 = -9,[4pt] ab + bc = 4 ]

Passo 3

Da primeira equação segue
a = pm 1
Da segunda, como não há raiz real de -9, trabalhamos em C e temos
c = pm 3,i

Passo 4

A terceira equação é
ab + bc = b,(a + c) = 4
Para cada par (a,c) com a+cneq0, obtemos
b = 4a + c

Passo 5

As quatro combinações (a,c) e os correspondentes b são:
1. a=1,;c=3,i:
b = 41+3,i =4(1-3,i)1+9 =4-12,i10 =25-65,i
2. a=1,;c=-3,i:
b = 41-3,i =4(1+3,i)10 =25+65,i
3. a=-1,;c=3,i:
b = 4-1+3,i =4(-1-3,i)10 =-25-65,i
4. a=-1,;c=-3,i:
b = 4-1-3,i =4(-1+3,i)10 =-25+65,i

Resposta

As quatro matrizes triangulares A que satisfazem A^2=B são
1 & tfrac25-tfrac65,i[3pt] 0 & 3,i , 1 & tfrac25+tfrac65,i[3pt] 0 & -3,i , -1 & -tfrac25-tfrac65,i[3pt] 0 & 3,i , -1 & -tfrac25+tfrac65,i[3pt] 0 & -3,i ]

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