Seja A=(ll5 & 2 0 & k). Encontre todas números k tais que A seja uma rais do polinômio f(x)=x^2-25. (A é uma raiz de f(x) se f(A)=0.).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 5 & 2 0 & k
e o polinômio f(x)=x^2-25. Queremos encontrar todos os valores de k tais que
f(A)=0,
isto é, usando a definição de polinômio em matriz,
f(A)=A^2 - 25I = 0
Para resolver, vamos calcular A^2, formar A^2-25I e impor que todas as entradas sejam zero.

Passo 2

Vamos calcular A^2 por multiplicação de matrizes.
A^2 = 5 & 2 0 & k 5 & 2 0 & k = 5cdot5 + 2cdot0 & 5cdot2 + 2cdot k [6pt] 0cdot5 + kcdot0 & 0cdot2 + kcdot k = 25 & 10 + 2k [3pt] 0 & k^2 ]

Passo 3

Agora formamos
f(A) = A^2 - 25I = 25 & 10 + 2k [3pt]0 & k^2 - 25 & 0 [3pt]0 & 25 = 0 & 10 + 2k [3pt] 0 & k^2 - 25 ]

Passo 4

Para que f(A)=0 precisamos que todas as entradas dessa matriz sejam zero. Assim obtemos o sistema
10 + 2k = 0, k^2 - 25 = 0
Resolvendo 10 + 2k = 0 vem k = -5. Da equação k^2 - 25 = 0 temos k = 5 ou k = -5. Para satisfazer ambas as condições simultaneamente, só vale
k = -5

Resposta

k = -5

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