Reduza a matriz seguinte à forma escalonada e depois à forma canônica por linhas.
Passo 1
O enunciado pede para levar a matriz
primeiro à forma escalonada por linhas (row echelon form) e depois à forma canônica por linhas (reduced row echelon form). Vamos usar operações elementares de linhas: troca de linhas, multiplicação de linha por escalar e adição de múltiplos de uma linha em outra.
Passo 2
Como a primeira coluna de
A é toda zero, o primeiro pivô aparece na segunda coluna, linha
1 , onde já temos um
1 . Usamos esse pivô para zerar abaixo:
Calculando:
-L2 = (0,3,8,12) - 3,(0,1,2,3) = (0,0,2,3)
-L4 = (0,2,7,10) - 2,(0,1,2,3) = (0,0,3,4)
L3 permanece
(0,0,4,6) .
-
-
Passo 3
Após essas operações, a matriz vira
O próximo pivô está na coluna
3 , linha
2 , onde temos
2 . Usamos esse pivô para zerar abaixo:
Calculando:
-L3 = (0,0,4,6) - 2,(0,0,2,3) = (0,0,0,0)
-L4 = (0,0,3,4) - tfrac32,(0,0,2,3) = (0,0,0,-tfrac12) .
-
-
Passo 4
Agora temos
Para colocar o pivô não-nulo mais abaixo, trocamos
L3 com
L4 e depois multiplicamos a nova
L3 por
-2 para obter pivô
1 :
Passo 5
Após a troca e escalonamento, chegamos à forma escalonada:
Passo 6
Agora vamos reduzir para a forma canônica (RREF). O pivô em
L3 está em
(3,4) . Zeramos acima:
Fica
Passo 7
O pivô em
L2 está em
(2,3) . Dividimos
L2 por
2 e zeramos acima:
Obtém-se
Passo 8
O pivô em
L1 está em
(1,2) e já é
1 , sem necessidade de nova operação. A matriz já está na forma canônica por linhas.
Resposta
Forma escalonada por linhas:
Forma canônica por linhas (RREF):