Reduza a matriz seguinte à forma escalonada e depois à forma canônica por linhas.
(cccc0 & 1 & 2 & 3 0 & 3 & 8 & 12 0 & 0 & 4 & 6 0 & 2 & 7 & 10)

Passo 1

O enunciado pede para levar a matriz
A= 0 & 1 & 2 & 3 0 & 3 & 8 & 12 0 & 0 & 4 & 6 0 & 2 & 7 & 10
primeiro à forma escalonada por linhas (row echelon form) e depois à forma canônica por linhas (reduced row echelon form). Vamos usar operações elementares de linhas: troca de linhas, multiplicação de linha por escalar e adição de múltiplos de uma linha em outra.

Passo 2

Como a primeira coluna de A é toda zero, o primeiro pivô aparece na segunda coluna, linha 1, onde já temos um 1. Usamos esse pivô para zerar abaixo:
L2 L2 - 3,L1, L4 L4 - 2,L1
Calculando:
- L2 = (0,3,8,12) - 3,(0,1,2,3) = (0,0,2,3)
- L4 = (0,2,7,10) - 2,(0,1,2,3) = (0,0,3,4) L3 permanece (0,0,4,6).

Passo 3

Após essas operações, a matriz vira
0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 2 & 3 0 & 0 & 4 & 6 0 & 0 & 3 & 4
O próximo pivô está na coluna 3, linha 2, onde temos 2. Usamos esse pivô para zerar abaixo:
L3 L3 - 2,L2, L4 L4 - tfrac32,L2
Calculando:
- L3 = (0,0,4,6) - 2,(0,0,2,3) = (0,0,0,0)
- L4 = (0,0,3,4) - tfrac32,(0,0,2,3) = (0,0,0,-tfrac12).

Passo 4

Agora temos
0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -tfrac12
Para colocar o pivô não-nulo mais abaixo, trocamos L3 com L4 e depois multiplicamos a nova L3 por -2 para obter pivô 1:
L3 rightarrow L4, L3 -2,L3

Passo 5

Após a troca e escalonamento, chegamos à forma escalonada:
0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0

Passo 6

Agora vamos reduzir para a forma canônica (RREF). O pivô em L3 está em (3,4). Zeramos acima:
L1 L1 - 3,L3, L2 L2 - 3,L3
Fica
0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0

Passo 7

O pivô em L2 está em (2,3). Dividimos L2 por 2 e zeramos acima:
L2 tfrac12,L2, L1 L1 - 2,L2
Obtém-se
0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0

Passo 8

O pivô em L1 está em (1,2) e já é 1, sem necessidade de nova operação. A matriz já está na forma canônica por linhas.

Resposta

Forma escalonada por linhas:
0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0
Forma canônica por linhas (RREF):
0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0

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