Encontre todas as possibilidades para o polinômio minimal de um operador T: R^5 R^5 com polinômio característico PT dado. É possível concluir que algum deles é necessariamente diagonalizável?
pT(x)=(x-1)^m, m >= 1

Passo 1

O enunciado diz que temos um operador linear T: ℝ5→ℝ5 cujo polinômio característico é
pT(x)=(x-1)^5
Estamos no capítulo de teoria de operadores em espaços de dimensão finita e vamos usar a relação entre polinômio característico e polinômio minimal.

Passo 2

Pelo teorema de Cayley–Hamilton, o polinômio minimal μT(x) divide o polinômio característico. Além disso, ambos compartilham os mesmos fatores irredutíveis (aqui só aparece o fator x-1). Logo

Passo 3

têm-se necessariamente
μT(x)=(x-1)^k, 1<= k<= 5

Passo 4

Um operador é diagonalizável exatamente quando o polinômio minimal se decompõe em fatores lineares distintos (nenhuma raiz com multiplicidade >1). Como só há a raiz x=1, isso só acontece se k=1.

Resposta

As possibilidades para o polinômio minimal são μT(x)=(x-1)^k com k=1,2,3,4,5. Dessas, apenas para k=1 (isto é, μT(x)=x-1) o operador é diagonalizável.

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