Encontre todas as possibilidades para o polinômio minimal de um operador
com polinômio característico
dado. É possível concluir que algum deles é necessariamente diagonalizável?
Passo 1
O enunciado diz que temos um operador linear T: ℝ5→ℝ5 cujo polinômio característico é
Estamos no capítulo de teoria de operadores em espaços de dimensão finita e vamos usar a relação entre polinômio característico e polinômio minimal.
Passo 2
Pelo teorema de Cayley–Hamilton, o polinômio minimal
divide o polinômio característico. Além disso, ambos compartilham os mesmos fatores irredutíveis (aqui só aparece o fator
). Logo
Passo 3
têm-se necessariamente
Passo 4
Um operador é diagonalizável exatamente quando o polinômio minimal se decompõe em fatores lineares distintos (nenhuma raiz com multiplicidade >1). Como só há a raiz
, isso só acontece se
.
Resposta
As possibilidades para o polinômio minimal são
com
. Dessas, apenas para
(isto é,
) o operador é diagonalizável.