Seja um espaço vetorial sobre um corpo algebricamente fechado e seja um operador. Prove que é nilpotente se e somente se todos os seus autovalores forem iguais a zero.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um operador linear sobre um corpo alg. fechado é nilpotente exatamente quando todos os seus autovalores são zero. Vamos usar definição de operador nilpotente, definição de autovalor/autovetor e propriedades do polinômio mínimo e característico.
Passo 2
Provaremos primeiro que se é nilpotente então todo autovalor de é zero. Por definição, é nilpotente se existe tal que . Se é autovetor associado ao autovalor , então e, aplicando :
Como T^n=0, temos lambda^n v=0. Como vneq0, segue lambda^n=0 e, portanto, lambda=0.
Passo 3
Agora vamos mostrar o recíproco: se todos os autovalores de T são zero então T é nilpotente. Como K é alg. fechado, o polinômio característico de T se fatoriza como pT(x)=x^m (todos os autovalores iguais a zero). O polinômio mínimo mT(x) divide pT(x), logo
mT(x)=x^k
para certo k<= m. A definição de polinômio mínimo implica mT(T)=T^k=0, isto é, T é nilpotente.
Passo 4
Com isso, mostramos as duas implicações e concluímos que T é nilpotente se, e somente se, todos os seus autovalores forem zero.
Resposta
T é nilpotente se e somente se todos os seus autovalores são zero.