Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K algebricamente fechado e seja T: V V um operador. Prove que T é nilpotente se e somente se todos os seus autovalores forem iguais a zero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um operador linear T:Vto V sobre um corpo alg. fechado K é nilpotente exatamente quando todos os seus autovalores são zero. Vamos usar definição de operador nilpotente, definição de autovalor/autovetor e propriedades do polinômio mínimo e característico.

Passo 2

Provaremos primeiro que se T é nilpotente então todo autovalor de T é zero. Por definição, T é nilpotente se existe n tal que T^n=0. Se vneq0 é autovetor associado ao autovalor lambda, então T(v)=lambda v e, aplicando T^n:
T^n(v)=underbraceT(dots Tn vezes(v)dots)=lambda^n v
Como T^n=0, temos lambda^n v=0. Como vneq0, segue lambda^n=0 e, portanto, lambda=0.

Passo 3

Agora vamos mostrar o recíproco: se todos os autovalores de T são zero então T é nilpotente. Como K é alg. fechado, o polinômio característico de T se fatoriza como pT(x)=x^m (todos os autovalores iguais a zero). O polinômio mínimo mT(x) divide pT(x), logo
mT(x)=x^k
para certo k<= m. A definição de polinômio mínimo implica mT(T)=T^k=0, isto é, T é nilpotente.

Passo 4

Com isso, mostramos as duas implicações e concluímos que T é nilpotente se, e somente se, todos os seus autovalores forem zero.

Resposta

T é nilpotente se e somente se todos os seus autovalores são zero.

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