Verifique se a aplicação T é transformação linear:
T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x-y, 0)

Passo 1

O exercício pede para verificar se a aplicação T: R^2 to R^2, definida por T(x,y) = (2x - y,,0), é de fato uma transformação linear. Vamos usar a definição: T é linear se satisfaz aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Para a aditividade, tomamos dois vetores arbitrários (x1,y1) e (x2,y2) em R^2. Calculamos:
T((x1,y1) + (x2,y2)) = T(x1 + x2,,y1 + y2) = (2(x1 + x2) - (y1 + y2),,0)
Por outro lado:
T(x1,y1) + T(x2,y2) = (2x1 - y1,,0) + (2x2 - y2,,0) = (2x1 + 2x2 - y1 - y2,,0)
Como 2(x1 + x2) - (y1 + y2) = 2x1 + 2x2 - y1 - y2, vemos que
T((x1,y1)+(x2,y2)) = T(x1,y1) + T(x2,y2)

Passo 3

Para a homogeneidade, pegamos um escalar cinR e um vetor (x,y). Então:
T(c,(x,y)) = T(cx,,cy) = (2(cx) - (cy),,0) = (c(2x - y),,0) = c,(2x - y,,0) = c,T(x,y)
Isso mostra T(c,v) = c,T(v) para todo vetor v.

Passo 4

Como as duas propriedades (aditividade e homogeneidade) são satisfeitas, concluímos que T é sim uma transformação linear.

Resposta

Sim. A aplicação T(x,y) = (2x - y,,0) é uma transformação linear.

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