Encontre todas as possíveis formas canônicas de Jordan para as matrizes cujos polinômios característico e mínimo são dados abaixo:
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Passo 1
O enunciado pede para achar todas as formas canônicas de Jordan de uma matriz 5×5 cujo polinômio característico é p(t)=(t−7)^5 e cujo polinômio mínimo é m(t)=(t−7)^2. Isso envolve o conteúdo de forma canônica de Jordan e como os polinômios característico e mínimo determinam tamanhos e quantidade de blocos de Jordan.
Passo 2
O grau do polinômio mínimo m(t) indica o tamanho do maior bloco de Jordan associado a λ=7. Como m(t)=(t−7)^2, o maior bloco deve ter tamanho exatamente 2.
Passo 3
O polinômio característico p(t)=(t−7)^5 diz que a soma dos tamanhos dos blocos de Jordan (todos com autovalor 7) é 5. Além disso, todos os blocos têm tamanho ≤2 (pela condição do polinômio mínimo) e deve haver pelo menos um bloco de tamanho 2 para que m(t) seja de grau 2.
Passo 4
Devemos então decompor o inteiro 5 em somas de 1’s e 2’s, com pelo menos um 2. As únicas partições possíveis são 2+2+1 e 2+1+1+1.
Passo 5
Cada partição corresponde a uma forma de Jordan. Assim, as duas possíveis formas canônicas de Jordan são J₂(7)⊕J₂(7)⊕J₁(7) e J₂(7)⊕J₁(7)⊕J₁(7)⊕J₁(7).
Resposta
As possíveis formas canônicas de Jordan são: