Encontre todas as possíveis formas canônicas de Jordan para as matrizes cujos polinômios característico e mínimo são dados abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre todas as formas canônicas de Jordan de matrizes de ordem 7 (já que o polinômio característico é
), sabendo que o polinômio mínimo é
. O conteúdo envolvido é teoria da forma canônica de Jordan, usando polinômio característico e mínimo para determinar dimensões e tamanhos máximos de blocos.
Passo 2
Na teoria de Jordan, o polinômio característico indica que a soma dos tamanhos dos blocos de Jordan (todos para o mesmo autovalor 2) deve dar 7, e o grau do polinômio mínimo dá o tamanho do maior bloco. Como
, o maior bloco tem dimensão 3, e nenhum bloco pode ter dimensão maior que 3.
Passo 3
Então precisamos achar todas as partições de 7 em inteiros positivos menores ou iguais a 3, de modo que haja pelo menos um bloco de tamanho 3. Sejam
as quantidades de blocos de tamanho 3, 2 e 1, satisfazendo
e
.
Passo 4
Vamos enumerar possibilidades de
:
- Para
, temos . As soluções inteiras não-negativas são: -
- Para
, temos . A única solução é . - Para
não há solução, pois ultrapassa 7.
Passo 5
Convertendo cada solução em soma direta de blocos de Jordan para o autovalor 2, obtemos as 4 formas canônicas distintas listadas a seguir.
Resposta
As possíveis formas canônicas de Jordan são:
•
•
•
•