Encontre todas as possíveis formas canônicas de Jordan para as matrizes cujos polinômios característico e mínimo são dados abaixo:
p(t)=(t-2)^7, m(t)=(t-2)^3.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre todas as formas canônicas de Jordan de matrizes de ordem 7 (já que o polinômio característico é p(t)=(t-2)^7), sabendo que o polinômio mínimo é m(t)=(t-2)^3. O conteúdo envolvido é teoria da forma canônica de Jordan, usando polinômio característico e mínimo para determinar dimensões e tamanhos máximos de blocos.

Passo 2

Na teoria de Jordan, o polinômio característico indica que a soma dos tamanhos dos blocos de Jordan (todos para o mesmo autovalor 2) deve dar 7, e o grau do polinômio mínimo dá o tamanho do maior bloco. Como m(t)=(t-2)^3, o maior bloco tem dimensão 3, e nenhum bloco pode ter dimensão maior que 3.

Passo 3

Então precisamos achar todas as partições de 7 em inteiros positivos menores ou iguais a 3, de modo que haja pelo menos um bloco de tamanho 3. Sejam k3,k2,k1 as quantidades de blocos de tamanho 3, 2 e 1, satisfazendo
3k3 + 2k2 + k1 = 7,
e k3>=1.

Passo 4

Vamos enumerar possibilidades de k3:
  • Para k3=1, temos 2k2 + k1 = 4. As soluções inteiras não-negativas são:
    1. k2=0, k1=4
    2. k2=1, k1=2
    3. k2=2, k1=0
  • Para k3=2, temos 2k2 + k1 = 1. A única solução é k2=0, k1=1.
  • Para k3>=3 não há solução, pois ultrapassa 7.

Passo 5

Convertendo cada solução em soma direta de blocos de Jordan para o autovalor 2, obtemos as 4 formas canônicas distintas listadas a seguir.

Resposta

As possíveis formas canônicas de Jordan são:
J3(2) oplus J1(2) oplus J1(2) oplus J1(2) oplus J1(2)
J3(2) oplus J2(2) oplus J1(2) oplus J1(2)
J3(2) oplus J2(2) oplus J2(2)
J3(2) oplus J3(2) oplus J1(2)

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