Encontre todas as possíveis formas canônicas de Jordan para as matrizes cujos polinômios característico e mínimo são dados abaixo:
p(t)=(t-3)^4(t-5)^4, m(t)=(t-3)^2(t-5)^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as formas canônicas de Jordan de uma matriz cujo polinômio característico é p(t)=(t-3)^4(t-5)^4 e cujo polinômio mínimo é m(t)=(t-3)^2(t-5)^2. O conteúdo aqui é forma canônica de Jordan, e vamos precisar usar a relação entre os expoentes em p(t) e m(t) com as dimensões dos blocos de Jordan.

Passo 2

Primeiro identificamos os autovalores e suas multiplicidades algébricas a partir de p(t): autovalor 3 com multiplicidade algébrica 4 e autovalor 5 com multiplicidade algébrica 4. Sabemos que em cada autovalor a soma das dimensões dos blocos de Jordan deve ser igual à multiplicidade algébrica.
Pelo polinômio mínimo m(t)=(t-3)^2(t-5)^2, concluímos que o maior bloco de Jordan correspondente a cada autovalor tem tamanho 2 (o expoente de cada fator em m(t) dá o tamanho do maior bloco para aquele autovalor).

Passo 3

Para cada autovalor λin3,5 precisamos particionar 4 em parcelas de tamanho no máximo 2, mas contendo pelo menos uma parcela igual a 2 (para que o tamanho máximo seja 2). As partições possíveis de 4 em partes ≤2 com pelo menos um 2 são: (i) 2+2 e (ii) 2+1+1.

Passo 4

Agora combinamos as escolhas feitas para λ=3 com as escolhas para λ=5. Como cada um pode ser particionado de 2 formas, obtemos 2times2=4 formas canônicas de Jordan distintas, listadas a seguir.

Resposta

As quatro formas canônicas de Jordan são, até permutação de blocos: 1) J=diag(J_{2}(3),J_{2}(3),J_{2}(5),J_{2}(5)); 2) J=diag(J_{2}(3),J_{2}(3),J_{2}(5),J_{1}(5),J_{1}(5)); 3) J=diag(J_{2}(3),J_{1}(3),J_{1}(3),J_{2}(5),J_{2}(5)); 4) J=diag(J_{2}(3),J_{1}(3),J_{1}(3),J_{2}(5),J_{1}(5),J_{1}(5)).

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