Encontre todas as possíveis formas canônicas de Jordan para as matrizes cujos polinômios característico e mínimo são dados abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as formas canônicas de Jordan de uma matriz cujo polinômio característico é
e cujo polinômio mínimo é
. O conteúdo aqui é forma canônica de Jordan, e vamos precisar usar a relação entre os expoentes em
e
com as dimensões dos blocos de Jordan.
Passo 2
Primeiro identificamos os autovalores e suas multiplicidades algébricas a partir de
: autovalor
com multiplicidade algébrica 4 e autovalor
com multiplicidade algébrica 4. Sabemos que em cada autovalor a soma das dimensões dos blocos de Jordan deve ser igual à multiplicidade algébrica.
Pelo polinômio mínimo , concluímos que o maior bloco de Jordan correspondente a cada autovalor tem tamanho 2 (o expoente de cada fator em
dá o tamanho do maior bloco para aquele autovalor).
Pelo polinômio mínimo
Passo 3
Para cada autovalor
precisamos particionar 4 em parcelas de tamanho no máximo 2, mas contendo pelo menos uma parcela igual a 2 (para que o tamanho máximo seja 2). As partições possíveis de 4 em partes
com pelo menos um 2 são: (i)
e (ii)
.
Passo 4
Agora combinamos as escolhas feitas para
com as escolhas para
. Como cada um pode ser particionado de 2 formas, obtemos
formas canônicas de Jordan distintas, listadas a seguir.
Resposta
As quatro formas canônicas de Jordan são, até permutação de blocos: 1) J=diag(J_{2}(3),J_{2}(3),J_{2}(5),J_{2}(5)); 2) J=diag(J_{2}(3),J_{2}(3),J_{2}(5),J_{1}(5),J_{1}(5)); 3) J=diag(J_{2}(3),J_{1}(3),J_{1}(3),J_{2}(5),J_{2}(5)); 4) J=diag(J_{2}(3),J_{1}(3),J_{1}(3),J_{2}(5),J_{1}(5),J_{1}(5)).