Encontre todas as possíveis formas canônicas racionais possíveis para:
matrizes
, com polinômio mínimo
.
matrizes
Passo 1
O enunciado pede todas as formas canônicas racionais (ou seja, todos os conjuntos possíveis de fatores invariantes) para matrizes 6×6 cujo polinômio mínimo é m(t) = (t²+3)(t+1)². No formato canônico racional usamos os fatores invariantes d₁(t)∣d₂(t)∣…∣d_s(t), com d_s(t)=m(t) e ∏_{i=1}^s d_i(t)=χ(t) de grau 6.
Passo 2
Note que m(t) se fatora em Q[t] como irreducível f₁(t)=t²+3 (grau 2, expoente 1) e f₂(t)=t+1 (grau 1, expoente 2). Como d_s tem grau 4, os demais fatores invariantes devem somar grau 2. Logo ∑_{i=1}^{s-1} deg d_i(t)=2.
Passo 3
Os divisores monicos de m(t) de grau 2 são f₁(t) e (t+1)²; de grau 1 só f₂(t). Há então três cadeias possíveis: cadeia de comprimento 2 com d₁=f₁ e d₂=m; cadeia de comprimento 2 com d₁=(t+1)² e d₂=m; cadeia de comprimento 3 com d₁=d₂=f₂ e d₃=m.
Passo 4
Cada forma canônica é a matriz em bloco diagonal cujos blocos são as matrizes companheiras C(d_i).
Resposta
As três formas canônicas racionais possíveis são:
-
diag\bigl(C(t+1),;C(t+1),;C\bigl((t+1)2(t2+3)\bigr)\bigr)
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diag\bigl(C((t+1)2),;C\bigl((t+1)2(t^2+3)\bigr)\bigr)
-
diag\bigl(C(t2+3),;C\bigl((t+1)2(t^2+3)\bigr)\bigr)