Encontre uma(todas as) primitiva(s) de cada uma das seguintes funções:
f(x)=x^2-sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma ou todas as primitivas da função f(x) = x^2 - sin x . Isso significa que vamos achar uma função F(x) cuja derivada seja igual a f(x) . Para isso, vamos usar princípios básicos de cálculo integral, que é a matéria que estuda justamente essas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a primitiva de uma soma de funções é a soma das primitivas de cada função. Ou seja, se f(x) = g(x) + h(x) , então integral f(x) dx = integral g(x) dx + integral h(x) dx . No nosso caso, temos f(x) = x^2 - sin x , então vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos começar integrando x^2 . A regra geral para integrar x^n é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então:
integral x^2 dx = x^33 + C1
Aqui, C1 é uma constante de integração que aparece porque há infinitas primitivas possíveis.

Passo 4

Agora, vamos integrar -sin x . Sabemos que a integral de sin x é -cos x , então:
integral -sin x dx = cos x + C2
Onde C2 também é uma constante de integração.

Passo 5

Juntando as duas integrais que calculamos, temos:
integral (x^2 - sin x) dx = x^33 + cos x + C
Aqui, C = C1 + C2 é uma constante geral de integração que engloba as duas constantes anteriores.

Resposta

A primitiva de f(x) = x^2 - sin x é F(x) = dfracx^33 + cos x + C , onde C é uma constante.

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