Encontre uma(todas as) primitiva(s) de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar todas as primitivas da função
. Isso significa que vamos procurar uma função
cuja derivada seja exatamente
. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar exponenciais e funções trigonométricas, usando algumas fórmulas básicas de integração. Vamos quebrar isso passo a passo para facilitar!
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar a integração:
Isso significa que nossa primitiva
vai ser a soma das primitivas de
e de
.
Passo 3
Vamos começar integrando
. A regra básica de integração para exponenciais é:
Aqui,
é a constante de integração, que sempre colocamos quando encontramos primitivas, já que a derivada de uma constante é zero.
Passo 4
Agora, vamos integrar
. Primeiro, vamos focar em
. A regra para integrar funções trigonométricas com multiplicador no argumento é:
No nosso caso,
, então:
Mas temos um coeficiente de
na frente:
Passo 5
Agora, juntamos as duas integrações que fizemos:
Onde
é a constante de integração que representa todas as possíveis primitivas.
Resposta
A primitiva de
é: