Encontre uma(todas as) primitiva(s) de cada uma das seguintes funções:
f(x)=e^x-3 sen 3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar todas as primitivas da função f(x) = e^x - 3 sin(3x) . Isso significa que vamos procurar uma função F(x) cuja derivada seja exatamente f(x) . Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar exponenciais e funções trigonométricas, usando algumas fórmulas básicas de integração. Vamos quebrar isso passo a passo para facilitar!

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar a integração:
f(x) = e^x - 3 sin(3x)
Isso significa que nossa primitiva F(x) vai ser a soma das primitivas de e^x e de -3 sin(3x) .

Passo 3

Vamos começar integrando e^x . A regra básica de integração para exponenciais é:
integral e^x , dx = e^x + C
Aqui, C é a constante de integração, que sempre colocamos quando encontramos primitivas, já que a derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Agora, vamos integrar -3 sin(3x) . Primeiro, vamos focar em sin(3x) . A regra para integrar funções trigonométricas com multiplicador no argumento é:
integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
No nosso caso, k = 3 , então:
integral sin(3x) , dx = -13 cos(3x) + C
Mas temos um coeficiente de -3 na frente:
integral -3 sin(3x) , dx = -3 ( -13 cos(3x) ) + C = cos(3x) + C

Passo 5

Agora, juntamos as duas integrações que fizemos:
F(x) = integral e^x , dx + integral -3 sin(3x) , dx = e^x + cos(3x) + C
Onde C é a constante de integração que representa todas as possíveis primitivas.

Resposta

A primitiva de f(x) = e^x - 3 sin(3x) é:
F(x) = e^x + cos(3x) + C

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