Encontre uma(todas as) primitiva(s) de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver encontrar as primitivas da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integração de funções. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma primitiva. Primitiva de uma função
é uma função
cuja derivada é igual a
. Em outras palavras,
. Para encontrar
, precisamos calcular a integral de
.
Passo 3
Vamos separar a função
em duas partes para facilitar a integração:
Então, a integral de
será a soma das integrais de cada termo:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
- Integral de
:
Sabemos que a integral de
é
:
- Integral de
:
A integral de
é
:
Passo 5
Substituindo as integrais encontradas de volta na expressão original:
Simplificando, podemos juntar as constantes
e
em uma única constante
(já que a constante de integração pode ser qualquer número real):
Resposta
Todas as primitivas de
são dadas por:
onde
é uma constante de integração.