Encontre uma(todas as) primitiva(s) de cada uma das seguintes funções:
f(x)=cos x-sec ^2 x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver encontrar as primitivas da função f(x) = cos x - sec^2 x . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integração de funções. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma primitiva. Primitiva de uma função f(x) é uma função F(x) cuja derivada é igual a f(x) . Em outras palavras, F'(x) = f(x) . Para encontrar F(x) , precisamos calcular a integral de f(x) .

Passo 3

Vamos separar a função f(x) em duas partes para facilitar a integração:
f(x) = cos x - sec^2 x
Então, a integral de f(x) será a soma das integrais de cada termo:
integral f(x) , dx = integral cos x , dx - integral sec^2 x , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integral de cos x :
Sabemos que a integral de cos x é sin x :
integral cos x , dx = sin x + C1
  1. Integral de sec^2 x :
A integral de sec^2 x é tan x :
integral sec^2 x , dx = tan x + C2

Passo 5

Substituindo as integrais encontradas de volta na expressão original:
integral f(x) , dx = sin x + C1 - (tan x + C2)
Simplificando, podemos juntar as constantes C1 e C2 em uma única constante C (já que a constante de integração pode ser qualquer número real):
F(x) = sin x - tan x + C

Resposta

Todas as primitivas de f(x) = cos x - sec^2 x são dadas por:
F(x) = sin x - tan x + C
onde C é uma constante de integração.

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