Encontre uma(todas as) primitiva(s) de cada uma das seguintes funções:
f(x)=x^3+x-2raizx

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar todas as primitivas (ou antiderivadas) da função f(x) = x^3 + x - 2raizx . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre como integrar funções algébricas. Para resolver, precisaremos simplificar a expressão e integrar cada termo separadamente usando regras básicas de integração.

Passo 2

Vamos começar simplificando a função f(x) = x^3 + x - 2raizx . Sabemos que raizx = x^1/2 , então podemos reescrever a função como:
f(x) = x^3x^1/2 + xx^1/2 - 2x^1/2

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada fração dividindo as potências de x . Lembrando que x^ax^b = x^a - b , temos:
x^3x^1/2 = x^3 - 12 = x^52
xx^1/2 = x^1 - 12 = x^12
2x^1/2 = 2x^-12
Portanto, a função simplificada fica:
f(x) = x^52 + x^12 - 2x^-12

Passo 4

Agora que simplificamos a função, podemos integrá-la termo a termo. A regra básica de integração para funções do tipo x^n é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Vamos aplicar essa regra a cada termo da função simplificada:
Integrando o primeiro termo:
integral x^52 , dx = x^52 + 152 + 1 = x^7272 = 27x^72
Integrando o segundo termo:
integral x^12 , dx = x^12 + 112 + 1 = x^3232 = 23x^32
Integrando o terceiro termo:
integral -2x^-12 , dx = -2 cdot x^-12 + 1-12 + 1 = -2 cdot x^1212 = -4x^12

Resposta

Assim, uma primitiva de f(x) = x^3 + x - 2raizx é:
F(x) = 27x^72 + 23x^32 - 4x^12 + C
onde C é a constante de integração.

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