Prove as identidades abaixo.
tg^2(x)=1-cos (2 x)1+cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica . Vamos usar as definições de em termos de tg^2(x)=1-cos(2x)1+cos(2x) e tg(x) e as fórmulas de ângulo duplo para sin(x).

Passo 2

A primeira coisa é lembrar que é definido por . Logo,

Passo 3

Agora precisamos escrever sin^2(x) e cos^2(x) em função de cos(2x). Usando a fórmula do cosseno de ângulo duplo cos(2x)=1-2sin^2(x), isolamos sin^2(x):
sin^2(x)=1-cos(2x)2

Passo 4

De modo análogo, usando cos(2x)=2cos^2(x)-1, obtemos
cos^2(x)=1+cos(2x)2

Passo 5

Finalmente, substituímos essas expressões em e simplificamos:

Resposta

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