Encontre todas as raizes cúbicas de -raiz3+i.

Passo 1

O problema pede para encontrar todas as raízes cúbicas do número complexo -raiz3+i. O conteúdo envolvido é representação de números complexos em forma trigonométrica e aplicação do Teorema de De Moivre para extrair raízes de ordem n. Vamos precisar calcular o módulo e o argumento do número dado e em seguida aplicar a fórmula das raízes de números complexos.

Passo 2

Para começar, escrevemos -raiz3+i em forma trigonométrica r(costheta+isintheta). O módulo r é dado por r=raiz(-raiz3)^2+1^2=raiz3+1=2.
O argumento theta satisfaz tantheta=tfrac1-raiz3. Como o ponto (-raiz3,1) está no segundo quadrante, temos
theta=pi-pi6=5pi6

Passo 3

Pela fórmula das raízes de ordem n, as raízes cúbicas de um número re^itheta são
raiz[n]r;e^itheta+2pi kn, k=0,1,dots,n-1

Passo 4

Aqui n=3, então o raio das raízes é raiz[3]2 e os argumentos são
5pi/6+2pi k3=5pi18+2pi k3, k=0,1,2

Passo 5

Substituindo k=0,1,2, obtemos as três raízes em forma trigonométrica. As raízes são
raiz[3]2l(cos5pi18+isin5pi18r),
raiz[3]2l(cos17pi18+isin17pi18r),
raiz[3]2l(cos29pi18+isin29pi18r)

Resposta

As raízes cúbicas de -raiz3+i são:
raiz[3]2l(costfrac5pi18+isintfrac5pi18r), raiz[3]2l(costfrac17pi18+isintfrac17pi18r), raiz[3]2l(costfrac29pi18+isintfrac29pi18r)

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