Encontre todas as raízes em \mathbb{C} das seguintes equações:
1-z+z^{2}=0;

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre todas as raízes em \mathbb{C} da equação 1 - z + z^{2} = 0.”
Informações dadas:
  • A equação é \;1 - z + z^{2} = 0.
  • Queremos todas as soluções z que podem ser complexas.

Passo 2

Vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação quadrática em z. Trocar a ordem dos termos para ficar mais familiar:
z^{2} - z + 1 = 0.
Isto é uma equação do tipo a z^{2} + b z + c = 0 com a=1, b=-1 e c=1.

Passo 3

Vou usar a fórmula quadrática (a fórmula de Bhaskara) para resolver a z^{2} + b z + c = 0. Para lembrar por que ela vale, faço uma derivação curta por completamento do quadrado:
Começo com
a z^{2} + b z + c = 0.
Divido por a (que é \,1 aqui, mas vou mostrar a forma geral):
z^{2} + \frac{b}{a} z + \frac{c}{a} = 0.
Completo o quadrado com \left(\frac{b}{2a}\right)^{2}:
\left(z + \frac{b}{2a}\right)^{2} = \left(\frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{c}{a}.
Tirando raiz e isolando z obtemos
z = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
A expressão b^{2}-4ac chama-se discriminante; ela indica a natureza das raízes:
  • se b^{2}-4ac>0 há duas raízes reais distintas;
  • se b^{2}-4ac=0 há uma raiz real dupla;
  • se b^{2}-4ac<0 as raízes são complexas conjugadas (envolvem i=\sqrt{-1}).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso com a=1, b=-1, c=1:
Calculo do discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-1)^{2} - 4\cdot1\cdot1 = 1 - 4 = -3.
Como \Delta = -3 < 0, as raízes serão complexas conjugadas. Agora aplico a fórmula:
z = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} = -\frac{-1}{2\cdot1} \pm \frac{\sqrt{-3}}{2\cdot1} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{-3}}{2}.
Substituindo \sqrt{-3} = i\sqrt{3} (definição de i):
z = \frac{1}{2} \pm \frac{i\sqrt{3}}{2}.
Portanto as duas raízes são
z_{1} = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2},\qquad z_{2} = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Explico o significado desses números e verificações rápidas (úteis na prova):
  • As duas raízes são conjugadas (uma tem +i\sqrt{3}, a outra -i\sqrt{3}).
  • Produto e soma pelas relações de Viète: para z^{2}-z+1=0, z_{1}+z_{2} = 1,\qquad z_{1}z_{2} = 1.Dá para checar: \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}=1 e o produto dá 1.
  • Módulo: |z_{1}|^{2} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = \dfrac{1+3}{4}=1. Logo |z_{1}|=|z_{2}|=1: as raízes ficam no círculo unitário.
  • Argumento: z_{1} = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right) = e^{i\pi/3} e z_{2}=e^{-i\pi/3}. Assim as raízes também podem ser escritas como \;e^{\pm i\pi/3}.

Resposta

\displaystyle z=\frac{1 + i\sqrt{3}}{2}
\displaystyle z=\frac{1 - i\sqrt{3}}{2}

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