Encontre todas as raízes em
das seguintes equações:
;
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre todas as raízes em
da equação
.”
Informações dadas:
- A equação é
. - Queremos todas as soluções
que podem ser complexas.
Passo 2
Vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação quadrática em
. Trocar a ordem dos termos para ficar mais familiar:
Isto é uma equação do tipo
com
,
e
.
Passo 3
Vou usar a fórmula quadrática (a fórmula de Bhaskara) para resolver
. Para lembrar por que ela vale, faço uma derivação curta por completamento do quadrado:
Começo com
Divido por
(que é
aqui, mas vou mostrar a forma geral):
Completo o quadrado com
:
Tirando raiz e isolando
obtemos
A expressão
chama-se discriminante; ela indica a natureza das raízes:
- se
há duas raízes reais distintas; - se
há uma raiz real dupla; - se
as raízes são complexas conjugadas (envolvem ).
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
,
,
:
Calculo do discriminante:
Como
, as raízes serão complexas conjugadas. Agora aplico a fórmula:
Substituindo
(definição de
):
Portanto as duas raízes são
Passo 5
Explico o significado desses números e verificações rápidas (úteis na prova):
- As duas raízes são conjugadas (uma tem
, a outra ). - Produto e soma pelas relações de Viète: para
, Dá para checar: e o produto dá . - Módulo:
. Logo : as raízes ficam no círculo unitário. - Argumento:
e . Assim as raízes também podem ser escritas como .