Encontre todas as raízes em
das seguintes equações:
(Sugestão: não expanda os binômios);
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as raízes em
da equação
Informações dadas e observações imediatas:
- A incógnita é
e ela pode ser um número complexo. - A igualdade envolve potências sextas de dois binômios em
. - Há o caso potencial
que tornaria uma divisão por zero se quisermos dividir; isso precisa ser verificado.
Passo 2
Primeiro passo algébrico natural: passar tudo para uma razão para aproveitar raízes de unidade. Como ambos os lados são não-negativos em potência inteira, podemos escrever
desde que
. Vamos tratar separadamente
depois; por ora assumimos
.
Passo 3
Da igualdade
segue que a razão
é uma raiz sexta da unidade. Ou seja, existe algum inteiro
tal que
onde
Aqui estou usando a forma exponencial das raízes de unidade: toda solução de
é
com
.
Passo 4
Antes de prosseguir, verificamos o caso
. Se
então
. Substituindo em
obtemos
ou seja
, o que é falso. Portanto
não é solução e podemos dividir por
sem perder soluções.
Passo 5
Agora resolvemos para
a equação linear em
dada por
, para cada
com
. Reescrevendo:
Agrupando os termos que contêm
:
Como vimos,
(caso
) deve ser tratado: se
a equação fica
que dá
, impossível — portanto
não gera solução. Para os demais
(com
) temos
Passo 6
Vamos simplificar a expressão para
usando a forma exponencial
com
. Calculemos
Usamos as identidades de meia-ângulo em forma exponencial:
Dividindo as duas expressões, os fatores
e
cancelam, ficando
Como
, obtemos a fórmula conveniente
lembrando que
(que dá
) torna a tangente indefinida e foi excluído.
Passo 7
Agora calculamos explicitamente os valores para os
válidos:
-
: então . -
: então
-
: então
-
: excluído (tangente indefinida, corresponde a que não produz solução). -
: então
-
: então
Portanto as soluções distintas são
.
Passo 8
Verificação rápida por plausibilidade: são cinco soluções distintas, e de fato ao expandir simbolicamente
os termos de grau 6 em
se cancelam por simetria, resultando num polinômio de grau 5 em
(portanto até 5 raízes complexas distintas), o que é consistente com termos encontrados. Além disso, a simetria da equação sugere soluções puramente imaginárias, como obtivemos.