Encontre todas as raízes em \mathbb{C} das seguintes equações:
(1-z)^{6}=(1+z)^{6} (Sugestão: não expanda os binômios);

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as raízes em \mathbb{C} da equação
(1-z)^{6}=(1+z)^{6}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A incógnita é z e ela pode ser um número complexo.
  • A igualdade envolve potências sextas de dois binômios em z.
  • Há o caso potencial 1+z=0 que tornaria uma divisão por zero se quisermos dividir; isso precisa ser verificado.

Passo 2

Primeiro passo algébrico natural: passar tudo para uma razão para aproveitar raízes de unidade. Como ambos os lados são não-negativos em potência inteira, podemos escrever
\left(\frac{1-z}{1+z}\right)^{6}=1,
desde que 1+z\neq0. Vamos tratar separadamente 1+z=0 depois; por ora assumimos 1+z\neq0.

Passo 3

Da igualdade \left(\dfrac{1-z}{1+z}\right)^{6}=1 segue que a razão \dfrac{1-z}{1+z} é uma raiz sexta da unidade. Ou seja, existe algum inteiro k tal que
\frac{1-z}{1+z}=\omega_k,
onde
\omega_k=e^{2\pi i k/6}=e^{i\pi k/3},\qquad k=0,1,2,3,4,5.
Aqui estou usando a forma exponencial das raízes de unidade: toda solução de w^{6}=1 é w=e^{i\theta} com \theta=2\pi k/6.

Passo 4

Antes de prosseguir, verificamos o caso 1+z=0. Se 1+z=0 então z=-1. Substituindo em (1-z)^{6}=(1+z)^{6} obtemos
(1-(-1))^{6}=(1+(-1))^{6}\quad\Longrightarrow\quad 2^{6}=0^{6},
ou seja 64=0, o que é falso. Portanto z=-1 não é solução e podemos dividir por 1+z sem perder soluções.

Passo 5

Agora resolvemos para z a equação linear em z dada por 1-z=\omega(1+z), para cada \omega=\omega_k com k=0,\dots,5. Reescrevendo:
1-z=\omega+\omega z.
Agrupando os termos que contêm z:
-z-\omega z=\omega-1,
z(-1-\omega)=\omega-1.
Como vimos, \omega=-1 (caso k=3) deve ser tratado: se \omega=-1 a equação fica 1-z=-1-(z) que dá 1=-1, impossível — portanto \omega=-1 não gera solução. Para os demais \omega (com 1+\omega\neq0) temos
z=\frac{\omega-1}{-1-\omega}=\frac{1-\omega}{1+\omega}.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão para z usando a forma exponencial \omega=e^{i\theta} com \theta=\pi k/3. Calculemos
z=\frac{1-e^{i\theta}}{1+e^{i\theta}}.
Usamos as identidades de meia-ângulo em forma exponencial:
1-e^{i\theta}=e^{i\theta/2}\left(e^{-i\theta/2}-e^{i\theta/2}\right)=-2i\,e^{i\theta/2}\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right),
1+e^{i\theta}=e^{i\theta/2}\left(e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2}\right)=2\,e^{i\theta/2}\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Dividindo as duas expressões, os fatores 2 e e^{i\theta/2} cancelam, ficando
z=\frac{-2i\,e^{i\theta/2}\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2\,e^{i\theta/2}\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)}=-i\;\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Como \theta=\dfrac{\pi k}{3}, obtemos a fórmula conveniente
z_k=-i\,\tan\!\left(\frac{\pi k}{6}\right),\qquad k=0,1,2,3,4,5,
lembrando que k=3 (que dá \theta/2=\pi/2) torna a tangente indefinida e foi excluído.

Passo 7

Agora calculamos explicitamente os valores para os k válidos:
  • k=0: \tan\!\left(0\right)=0 então z_0=-i\cdot 0=0.
  • k=1: \tan\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}} então
z_1=-i\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{i}{\sqrt{3}}.
  • k=2: \tan\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3} então
z_2=-i\cdot \sqrt{3}=-i\sqrt{3}.
  • k=3: excluído (tangente indefinida, corresponde a \omega=-1 que não produz solução).
  • k=4: \tan\!\left(\dfrac{4\pi}{6}\right)=\tan\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\sqrt{3} então
z_4=-i\cdot (-\sqrt{3})=i\sqrt{3}.
  • k=5: \tan\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}} então
z_5=-i\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{i}{\sqrt{3}}.
Portanto as soluções distintas são 0,\; \pm \dfrac{i}{\sqrt{3}},\; \pm i\sqrt{3}.

Passo 8

Verificação rápida por plausibilidade: são cinco soluções distintas, e de fato ao expandir simbolicamente (1-z)^{6}-(1+z)^{6} os termos de grau 6 em z se cancelam por simetria, resultando num polinômio de grau 5 em z (portanto até 5 raízes complexas distintas), o que é consistente com termos encontrados. Além disso, a simetria da equação sugere soluções puramente imaginárias, como obtivemos.

Resposta

0
\dfrac{i}{\sqrt{3}}
-\dfrac{i}{\sqrt{3}}
i\sqrt{3}
-i\sqrt{3}

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