Encontre todas as raízes em
das seguintes equações:
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as raízes em
da equação
Informações dadas: é um polinômio em
de grau 6 (quando expandido normalmente). O incógnita
é um número complexo indefinido. Precisamos listar todos os
que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Vou olhar para a expressão e tentar reconhecer uma soma geométrica: os termos são
, isto é, potências consecutivas de
. A soma finita de uma progressão geométrica com razão
e
termos vale
Aqui posso identificar
e
. Aplicando a fórmula obtemos (para
, ou seja,
):
Observação importante: essa igualdade algébrica (a fração) só é válida quando
. Se
(ou seja,
) a manipulação por divisão não é permitida e teremos que checar esses casos separadamente.
Passo 3
Para os
tais que
, a equação original é equivalente a
Portanto, nesses casos precisamos resolver
As soluções de
são as oitavas raízes da unidade, dadas por
com
.
Passo 4
Voltando ao caso excluído anteriormente: devemos verificar se
com
(isto é,
) são soluções da equação original. Calculo diretamente para
:
Pelo conjugado, para
o mesmo acontece (ou calcular diretamente dá também
). Logo
não são raízes da equação original. Isso confirma que, entre as 8 raízes da unidade, as que tornam
(ou seja
) devem ser excluídas.
Passo 5
Conclusão: as soluções da equação são exatamente as oitavas raízes da unidade, exceto
e
. Em termos dos índices
isso significa manter
e excluir
.
Vamos escrever essas soluções em forma trigonométrica e em forma cartesiana simples:
Passo 6
Resumo didático rápido sobre o método (para usar na prova): ao ver uma soma de potências com sinal alternado, tente reconhecer uma soma geométrica com razão
. Use a fórmula
, lembrando de checar quando o denominador pode ser zero (esses pontos exigem verificação direta). Depois, transformar a equação numa equação do tipo
leva às raízes da unidade, que são
. Sempre verifique e exclua eventuais soluções espúrias introduzidas pela divisão.