Encontre todas as raízes em \mathbb{C} das seguintes equações:
1-z^{2}+z^{4}-z^{6}=0.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as raízes em \mathbb{C} da equação
1 - z^{2} + z^{4} - z^{6} = 0.
Informações dadas: é um polinômio em z de grau 6 (quando expandido normalmente). O incógnita z é um número complexo indefinido. Precisamos listar todos os z\in\mathbb{C} que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Vou olhar para a expressão e tentar reconhecer uma soma geométrica: os termos são 1, -z^{2}, z^{4}, -z^{6}, isto é, potências consecutivas de -z^{2}. A soma finita de uma progressão geométrica com razão r e n termos vale
\sum_{k=0}^{n-1} r^{k}=\frac{1-r^{n}}{1-r},\qquad r\neq1.
Aqui posso identificar r=-z^{2} e n=4. Aplicando a fórmula obtemos (para 1-(-z^{2})\neq0, ou seja, 1+z^{2}\neq0):
1 - z^{2} + z^{4} - z^{6}=\frac{1-(-z^{2})^{4}}{1-(-z^{2})}=\frac{1-z^{8}}{1+z^{2}}.
Observação importante: essa igualdade algébrica (a fração) só é válida quando 1+z^{2}\neq0. Se 1+z^{2}=0 (ou seja, z=\pm i) a manipulação por divisão não é permitida e teremos que checar esses casos separadamente.

Passo 3

Para os z tais que 1+z^{2}\neq0, a equação original é equivalente a
\frac{1-z^{8}}{1+z^{2}}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1-z^{8}=0.
Portanto, nesses casos precisamos resolver
z^{8}=1.
As soluções de z^{8}=1 são as oitavas raízes da unidade, dadas por
z_k=e^{2\pi i k/8}=\cos\!\left(\frac{2\pi k}{8}\right)+i\sin\!\left(\frac{2\pi k}{8}\right),
com k=0,1,2,3,4,5,6,7.

Passo 4

Voltando ao caso excluído anteriormente: devemos verificar se z com 1+z^{2}=0 (isto é, z=\pm i) são soluções da equação original. Calculo diretamente para z=i:
1 - i^{2} + i^{4} - i^{6} = 1 - (-1) + 1 - (-1)=1+1+1+1=4\neq0.
Pelo conjugado, para z=-i o mesmo acontece (ou calcular diretamente dá também 4). Logo z=\pm i não são raízes da equação original. Isso confirma que, entre as 8 raízes da unidade, as que tornam 1+z^{2}=0 (ou seja z=\pm i) devem ser excluídas.

Passo 5

Conclusão: as soluções da equação são exatamente as oitavas raízes da unidade, exceto z=i e z=-i. Em termos dos índices k isso significa manter k=0,1,3,4,5,7 e excluir k=2,6.
Vamos escrever essas soluções em forma trigonométrica e em forma cartesiana simples:
\begin{aligned} &k=0:\quad z= e^{0}=1,\\[4pt] &k=1:\quad z= e^{i\pi/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2},\\[4pt] &k=3:\quad z= e^{3i\pi/4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2},\\[4pt] &k=4:\quad z= e^{i\pi}=-1,\\[4pt] &k=5:\quad z= e^{5i\pi/4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2},\\[4pt] &k=7:\quad z= e^{7i\pi/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}]

Passo 6

Resumo didático rápido sobre o método (para usar na prova): ao ver uma soma de potências com sinal alternado, tente reconhecer uma soma geométrica com razão r. Use a fórmula \sum_{k=0}^{n-1} r^{k}=(1-r^{n})/(1-r), lembrando de checar quando o denominador pode ser zero (esses pontos exigem verificação direta). Depois, transformar a equação numa equação do tipo z^{m}=1 leva às raízes da unidade, que são \exp(2\pi i k/m). Sempre verifique e exclua eventuais soluções espúrias introduzidas pela divisão.

Resposta

\,1\n
\,e^{i\pi/4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\n
\,e^{3i\pi/4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\n
\,-1\n
\,e^{5i\pi/4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\n
\,e^{7i\pi/4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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