Encontre todas as raízes de sen(z) = cosh(4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as raízes da equação . Aqui estamos lidando com funções trigonométricas e hiperbólicas, que aparecem na matemática quando trabalhamos com números complexos. Vamos precisar lembrar como são definidas essas funções para números complexos e usar um pouco de álgebra para achar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo z como , onde x e y são números reais, e i é a unidade imaginária. Assim, nossa equação fica .

Passo 3

Agora, usamos a fórmula para o seno de um número complexo:
Essa expressão nos dá uma parte real e uma parte imaginária.

Passo 4

Para que a equação seja verdadeira, a parte imaginária precisa ser zero e a parte real igual a . Então, igualamos as partes:

Passo 5

Vamos resolver a segunda equação primeiro: . Isso só pode acontecer se:
  1. , ou

Passo 6

Se , então . Mas nesse caso, a primeira equação ficaria . Porém, sabemos que está entre -1 e 1, e é maior que 1. Então, não há soluções nesse caso.

Passo 7

Portanto, precisamos que . Isso acontece quando:
é

Passo 8

Com , voltamos à primeira equação: . Como , temos . Logo:
Isso implica que:

Resposta

Todas as raízes da equação são:

Exercícios relacionados