Encontre todas as raízes de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as raízes da equação
. Aqui estamos lidando com funções trigonométricas e hiperbólicas, que aparecem na matemática quando trabalhamos com números complexos. Vamos precisar lembrar como são definidas essas funções para números complexos e usar um pouco de álgebra para achar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo
como
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária. Assim, nossa equação fica
.
Passo 3
Agora, usamos a fórmula para o seno de um número complexo:
Essa expressão nos dá uma parte real e uma parte imaginária.
Passo 4
Para que a equação
seja verdadeira, a parte imaginária precisa ser zero e a parte real igual a
. Então, igualamos as partes:
Passo 5
Vamos resolver a segunda equação primeiro:
. Isso só pode acontecer se:
-
, ou -
Passo 6
Se
, então
. Mas nesse caso, a primeira equação ficaria
. Porém, sabemos que
está entre -1 e 1, e
é maior que 1. Então, não há soluções nesse caso.
Passo 7
Portanto, precisamos que
. Isso acontece quando:
Passo 8
Com
, voltamos à primeira equação:
. Como
, temos
. Logo:
Isso implica que:
Resposta
Todas as raízes da equação são: