Justifique o fato da função exponencial complexa,
, ser periódica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para justificar por que a função exponencial complexa,
, é periódica. Isso está dentro do conteúdo de Números Complexos e Funções Periódicas. Para resolver, vamos precisar entender como a função exponencial se comporta quando trabalhamos com números complexos e o que significa uma função ser periódica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a definição da função exponencial para números complexos. Se temos um número complexo da forma
, onde
e
são números reais, a função exponencial fica:
Aqui, separamos o exponencial em duas partes:
que é a parte real, e
que é a parte imaginária.
Passo 3
Agora, vamos focar na parte imaginária,
. Segundo a Fórmula de Euler, sabemos que:
Isso significa que
pode ser representado como uma combinação das funções cosseno e seno, que são funções periódicas.
Passo 4
Sabemos que as funções cosseno e seno têm um período de
, ou seja, elas se repetem a cada
unidades. Isso quer dizer que:
Portanto,
também se repete a cada
.
Passo 5
Voltando à função original
, já vimos que ela é igual a
. Como
tem um período de
, multiplicar por
não altera essa periodicidade, pois
é apenas um fator de escala que depende de
.
Resposta
Portanto, a função exponencial complexa
é periódica com período
devido à periodicidade das funções cosseno e seno presentes na parte imaginária da função.