Justifique o fato da função exponencial complexa, e^(x + i y), ser periódica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para justificar por que a função exponencial complexa, , é periódica. Isso está dentro do conteúdo de Números Complexos e Funções Periódicas. Para resolver, vamos precisar entender como a função exponencial se comporta quando trabalhamos com números complexos e o que significa uma função ser periódica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a definição da função exponencial para números complexos. Se temos um número complexo da forma , onde e são números reais, a função exponencial fica:
Aqui, separamos o exponencial em duas partes: que é a parte real, e que é a parte imaginária.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte imaginária, . Segundo a Fórmula de Euler, sabemos que:
Isso significa que pode ser representado como uma combinação das funções cosseno e seno, que são funções periódicas.

Passo 4

Sabemos que as funções cosseno e seno têm um período de , ou seja, elas se repetem a cada unidades. Isso quer dizer que:
Portanto, também se repete a cada .

Passo 5

Voltando à função original , já vimos que ela é igual a . Como tem um período de , multiplicar por não altera essa periodicidade, pois é apenas um fator de escala que depende de .

Resposta

Portanto, a função exponencial complexa é periódica com período devido à periodicidade das funções cosseno e seno presentes na parte imaginária da função.

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